4 - Faça um esboço das trajetórias das soluções para suficientemente grande:
Passo 1
Essas equações são equações independentes entre si, então podemos resolvê-las separadamente!
PRIMEIRA EQUAÇÃO:
Primeiro, vamos encontrar a resposta da homogênea:
Ora, essa equação dá para saber a resposta sem mesmo resolver, né? Quem é a função cuja derivada é ela mesma com o sinal trocado?
Agora vamos encontrar a resposta da particular por variação de parâmetros. Se a função que a torna não homogênea é , uma função envolvendo senos e cossenos, então essa será a solução particular também, ou seja, uma função envolvendo senos e cossenos:
Derivando...
Agora substituindo na EDO...
Veja então que para isso ser verdadeiro...
E
Somando as duas...
Então...
Então a solução geral para será:
Passo 2
SEGUNDA EQUAÇÃO:
A homogênea dela...
É parecida com a primeira:
A diferença vai ser na constante já que as duas equações são independentes, e podem ser números diferentes também, saca?
A particular nesse caso será também soma de seno e cosseno:
Derivando...
E substituindo...
O que implica em...
Somando as duas...
E...
Então a solução aqui será:
Passo 3
As duas respostas em função do tempo são:
Poxa, ambas as equações, com muito próximo do infinito, as exponenciais serão basicamente , e as soluções vão tender a:
Ou seja...
Isso significa que as soluções exponenciais de diferentes de diferentes formas, mas todas as elas tende ao círculo de raio ?