4 - Faça um esboço das trajetórias das soluções para t > 0 suficientemente grande:

d )   x ˙ = - x + cos ⁡ t - sin ⁡ t y ˙ = - y + cos ⁡ t + sin ⁡ t

Passo 1

Essas equações são equações independentes entre si, então podemos resolvê-las separadamente!

PRIMEIRA EQUAÇÃO:

x ˙ = - x + cos ⁡ t - sin ⁡ t     →

Primeiro, vamos encontrar a resposta da homogênea:

x ˙ h = - x h

Ora, essa equação dá para saber a resposta sem mesmo resolver, né? Quem é a função cuja derivada é ela mesma com o sinal trocado?

x h = c 1 e - t

Agora vamos encontrar a resposta da particular por variação de parâmetros. Se a função que a torna não homogênea é cos ⁡ t - sin ⁡ t , uma função envolvendo senos e cossenos, então essa será a solução particular também, ou seja, uma função envolvendo senos e cossenos:

x p = A sin ⁡ t + B cos ⁡ t

Derivando...

x ˙ p = A cos ⁡ t - B sin ⁡ t

Agora substituindo na EDO...

x ˙ p = - x p + cos ⁡ t - sin ⁡ t       →

A cos ⁡ t - B sin ⁡ t = - A sin ⁡ t + B cos ⁡ t + cos ⁡ t - sin ⁡ t       →

A cos ⁡ t - B sin ⁡ t + A sin ⁡ t + B cos ⁡ t = cos ⁡ t - sin ⁡ t       →

A + B cos ⁡ t - B - A sin ⁡ t = cos ⁡ t - sin ⁡ t       →

Veja então que para isso ser verdadeiro...

A + B = 1

E

B - A = 1    

Somando as duas...

2 B = 2         →

B = 1

Então...

A = 0

Então a solução geral para x será:

x = x h + x p   →

x = c 1 e - t + cos ⁡ t

Passo 2

SEGUNDA EQUAÇÃO:

y ˙ = - y + cos ⁡ t + sin ⁡ t

y ˙ = - y + 1

A homogênea dela...

y ˙ = - y

É parecida com a primeira:

y = c 2 e - t

A diferença vai ser na constante c 2 já que as duas equações são independentes, c 1 e c 2 podem ser números diferentes também, saca?

A particular nesse caso será também soma de seno e cosseno:

y p = C sin ⁡ t + D cos ⁡ t

Derivando...

y ˙ p = C cos ⁡ t - D sin ⁡ t

E substituindo...

y ˙ = - y + cos ⁡ t + sin ⁡ t   →

C cos ⁡ t - D sin ⁡ t = - C sin ⁡ t + D cos ⁡ t + cos ⁡ t + sin ⁡ t   →

C cos ⁡ t - D sin ⁡ t + C sin ⁡ t + D cos ⁡ t = cos ⁡ t + sin ⁡ t   →

C + D cos ⁡ t + C - D sin ⁡ t = cos ⁡ t + sin ⁡ t   →

O que implica em...

C + D = 1

C - D = 1

Somando as duas...

2 C = 2     →

C = 1

E...

D = 0

Então a solução aqui será:

y = c 2 e - t + sin ⁡ t

Passo 3

As duas respostas em função do tempo são:

x = c 1 e - t + cos ⁡ t

y = c 2 e - t + sin ⁡ t

Poxa, ambas as equações, com t muito próximo do infinito, as exponenciais serão basicamente 0 , e as soluções vão tender a:

x = cos ⁡ t

y = sin ⁡ t

Ou seja...

x 2 + y 2 = 1

Isso significa que as soluções exponenciais de diferentes de diferentes formas, mas todas as elas tende ao círculo de raio 1 ?

Resposta

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