7. As funções f e g dadas são linearmente dependentes ou linearmente independentes? Justifique.

D - f ,   g : R → R dadas por f x = sin ⁡ 3 x e g x = 3 sin ⁡ x cos 2 ⁡ x - sin 3 ⁡ x

Passo 1

Bem, da teoria, sabemos que se f e g forem linearmente independentes, então...

α f x + β g x = 0

As únicas soluções possíveis são se α = β = 0 para todo x pertencente ao intervalo de definição (no caso R ). Caso contrário, ela será LD (linearmente dependentes).

Se para todo x a equação de cima tem que se satisfazer, então em particular, para o x = π / 2 :

α f x + β g x = 0   →

α sin ⁡ 3 x + β 3 sin ⁡ x cos 2 ⁡ x - sin 3 ⁡ x = 0   →

Substituindo o x = π 2 ...

x = π 2               →                   α sin ⁡ 3 π 2 + β 3 sin ⁡ π 2 cos 2 ⁡ π 2 - sin 3 ⁡ π 2 = 0   →  

  - α + β - 1 3 = 0   →

  - α - β = 0  

Agora fazendo x = π 4

x = π 4               →                   α sin ⁡ 3 π 4 + β 3 sin ⁡ π 4 cos 2 ⁡ π 4 - sin 3 ⁡ π 4 = 0   →

- α 2 2 + β 3 2 2 2 2 2 - 2 2 3 = 0   →

Simplificando...

      - α 2 2 + β 3 2 2 3 - 2 2 3 = 0   →

      - α 2 2 + 2 2 2 3 β = 0   →

β 2 2 + 2 4 2 8 β = 0   →

β 2 2 + 2 β = 0   →

2 β 1 2 - 1 = 0 →

Veja então que a única solução possível é se...

β = 0

Pela primeira equação...

α = - β = 0

Então as funções f e g são LI (linearmente independentes).

Resposta

Linearmente Independente.

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