7. As funções f e g dadas são linearmente dependentes ou linearmente independentes? Justifique.

C - f x = ln ⁡ x ,   x > 0 e g x = ln ⁡ x 2 ,   x > 0

Passo 1

Bem, da teoria, sabemos que se f e g forem linearmente independentes, então...

α f x + β g x = 0

As únicas soluções possíveis são α = β = 0 para todo x pertencente ao intervalo de definição (no caso x > 0 ). Caso contrário, ela será LD (linearmente dependentes).

Se para todo x > 0 a equação de cima tem que se satisfazer, então:

α f x + β g x = 0   →

α ln ⁡ x + β ln ⁡ x 2 = 0   →

Por propriedade de logaritmo...

α ln ⁡ x + 2 β ln ⁡ x = 0   →

ln ⁡ x α + 2 β = 0

Repare que para qualquer x > 0 diferente de 1 , o logaritmo vai ser diferente de 0 , logo, a única forma disso ser 0 é se...

α + 2 β = 0   →

α = - 2 β

Então veja que a solução não é única, o que prova que essas equações são LD (linearmente dependentes!).

Resposta

Funções f e g são LD (linearmente Dependentes).

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