D - (1 + x^2) y^(' ') + 2 x y^' = 0

Passo 1

Ora, pela teoria, sabemos que podemos encontrar a solução de EDO de segunda ordem, linear, homogênea, coeficientes variáveis e ainda com o termo de que multiplica y zerado dessa forma aqui:

u = y '

Então como u^' = y ' ' , podemos substituir na nossa equação:

(1 + x^2) y^(' ') + 2 x y^' = 0 ->

(1 + x^2) u^' + 2 x u = 0 ->

u ' + (2 x)/(1 + x^2) u = 0

EPA! Chegamos a uma equação linear de primeira ordem homogênea que conseguimos resolver sabendo que:

u = A e^(- int (2 x)/(1 + x^2) d x)

Passo 2

Vamos integrar então!

int (2 x)/(1 + x^2) d x

Fazendo a substituição x^2 por t ...

d t = 2 x d x

int (d t)/(1 + t) =

ln |1 + t| + C =

ln |1 + x^2| + C =

Então, jogando esse resultado sem essa constante de integração na nossa solução de u :

u = A e^(- (ln |1 + x^2|)) ->

u = A e^(ln |1 + x^2|^(- 1)) ->

u = A (1 + x^2)^(- 1) ->

u = A ((1)/(1 + x^2))

Ótimo! Porque como y ' é u , vamos precisar integrar:

y^' = u ->

y = int A ((1)/(1 + x^2)) d x ->

Integrando então...

y = A arctan (x) + B

Resposta

y = A arctan (x) + B

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