12. Seja , uma solução da equação
Onde e são supostas contínuas no intervalo . Prove que se se anular um número infinito de vezes num intervalo contido em , então será identicamente nula em .
SUGESTÃO: Verifique que existe em tal que . Para obter construa uma sequência de intervalos satisfazendo a propriedade dos intervalos encaixantes (Veja vol. 1) e tal que, para todo , existam e , com e .
Passo 1
Poxa, lá vem o Guidorizzi nos dá mais questões de demonstração kkkk. Vamos fazer quem sabe ele nos deixa em paz, né?
Bem, sabemos que se provarmos que existe um ponto no intervalo tal que as condições iniciais são nulas:
Então, pelo teorema da Existência e unicidade, só podemos ter a solução nula, ou seja:
Certo? Então temos que provar que essa condição acontece para algum ! Vamos lá?
Passo 2
A propriedade dos intervalos encaixantes nos diz que dentro do intervalo , existem intervalos cada vez menores de modo que podemos encaixar os intervalos menores dessa forma:
Tipo boneca russa, sabe? Esse intervalo pode ser tão menor quanto se queira de forma que:
Aí é que está o pulo do gato! Se anula infinitas vezes no intervalo , vai existir para algum um intervalo , tal que...
Pelo teorema do valor intermediário, existe algum pertencente ao intervalo tal que...
Como ...
E se anula infinitas vezes, podemos encontrar algum , tal que...
Então pronto! Existe algum intervalo que:
Logo, a solução só poderá ser a função nula!
Resposta
Questão de demonstração.