Dos itens acima, conclua que:

underset(n -> oo)(lim) (2^2 . 4^2 . ... . (2 n)^2)/((1.3) (3.5) ... ( 2 n - 1 ) ( 2 n + 1 )) = (pi)/(2)

Passo 1

Então galerinha, aqui nós podemos usar o que descobrimos na letra (c):

(2 n + 1)/(2 n + 2) <= (int_0^((pi)/(2) ) s e n^(2 n + 1) (x) . d x)/(int_0^((pi)/(2) ) s e n^(2 n) (x) . d x) <= 1

Na letra (d) nós vimos que:

(int_0^((pi)/(2) ) s e n^(2 n + 1) (x) . d x)/(int_0^((pi)/(2) ) s e n^(2 n) (x) . d x) = ((2 n)^2)/((2 n + 1) (2 n - 1)) . ((2 n - 2)^2)/((2 n - 1) (2 n - 3)) ... (2^2)/(3.1) . (2)/(pi)

Então:

(2 n + 1)/(2 n + 2) <= ((2 n)^2)/((2 n + 1) (2 n - 1)) . ((2 n - 2)^2)/((2 n - 1) (2 n - 3)) ... (2^2)/(3.1) . (2)/(pi) <= 1

Aplicando o limite:

underset(n -> oo)(lim) (2 n + 1)/(2 n + 2) <= underset(n -> oo)(lim) [((2 n)^2)/((2 n + 1) (2 n - 1)) . ((2 n - 2)^2)/((2 n - 1) (2 n - 3)) ... (2^2)/(3.1) . (2)/(pi)] <= underset(n -> oo)(lim) 1

underset(n -> oo)(lim) (2 + (1)/(n))/(2 + (2)/(n)) <= underset(n -> oo)(lim) [((2 n)^2)/((2 n + 1) (2 n - 1)) . ((2 n - 2)^2)/((2 n - 1) (2 n - 3)) ... (2^2)/(3.1) . (2)/(pi)] <= underset(n -> oo)(lim) 1

Resolvendo:

1 <= underset(n -> oo)(lim) [((2 n)^2)/((2 n + 1) (2 n - 1)) . ((2 n - 2)^2)/((2 n - 1) (2 n - 3)) ... (2^2)/(3.1) . (2)/(pi)] <= 1

Então nós podemos concluir que:

underset(n -> oo)(lim) [((2 n)^2)/((2 n + 1) (2 n - 1)) . ((2 n - 2)^2)/((2 n - 1) (2 n - 3)) ... (2^2)/(3.1) . (2)/(pi)] = 1

Reorganizando:

(2)/(pi) . underset(n -> oo)(lim) [((2 n)^2)/((2 n + 1) (2 n - 1)) . ((2 n - 2)^2)/((2 n - 1) (2 n - 3)) ... (2^2)/(3.1)] = 1

underset(n -> oo)(lim) [((2 n)^2)/((2 n + 1) (2 n - 1)) . ((2 n - 2)^2)/((2 n - 1) (2 n - 3)) ... (2^2)/(3.1)] = (pi)/(2)

Tranquilo ??

Resposta

C o m o v i s t o a c i m a ‼

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