Mostre que

1 - (1)/(2 !) + (1)/(4 !) - (1)/(6 !) + ... = cos (1)

Passo 1

Bom, vamos relembrar do polinômio de Taylor de ordem n :

P (x) = f (x_0) + f^' (x_0) (x - x_0) + (f^(' ') (x_0))/(2 !) (x - x_0)^2 + ... + (f^n (x_0))/(n !) (x - x_0)^n

Certo, agora é importante que você perceba o seguinte:

Seja f (x) = cos (x)

f^' (x_0) = - sin (x_0)

f^(' ') (x_0) = - cos (x_0)

f^(' ' ') (x_0) = sin (x_0)

E assim por diante...

Passo 2

Perceba então, que podemos denotar c o s ( x ) por:

cos (x) = cos (x_0) - sin (x_0) (x - x_0) - (cos (x_0))/(2 !) (x - x_0)^2 + (sin (x_0))/(3 !) (x - x_0)^3 + ...

+ (cos^n (x_0))/(n !) (x - x_0)^n

Se adotarmos x_0 = 0 ,

cos (x) = cos (0) - sin (0) x - (cos (0))/(2 !) x^2 + (sin (0))/(3 !) x^3 + ... + (cos^n (0))/(n !) x^n

Passo 3

Lembre-se de que cos (0) = 1 e sin (0) = 0

Então podemos reescrever de forma simplificada:

cos (x) = 1 - (x^2)/(2 !) + (x^4)/(4 !) + ... + (x^(2 n))/((2 n) !)

Ou seja,

cos (1) = 1 - (1)/(2 !) + (1)/(4 !) - (1)/(6 !) + ...

Resposta

Mostramos, utilizando o polinômio de Taylor para x_0 = 0 , que:

cos (1) = 1 - (1)/(2 !) + (1)/(4 !) - (1)/(6 !) + ...

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