Mostre que

1 - (1)/(3 !) + (1)/(5 !) - (1)/(7 !) + ... = sin (1)

Passo 1

Bom, vamos relembrar do polinômio de Taylor de ordem n :

P (x) = f (x_0) + f^' (x_0) (x - x_0) + (f^(' ') (x_0))/(2 !) (x - x_0)^2 + ... + (f^n (x_0))/(n !) (x - x_0)^n

Certo, agora é importante que você perceba o seguinte:

Seja f (x) = sin (x)

f^' (x_0) = cos (x_0)

f^(' ') (x_0) = - sin (x_0)

f^(' ' ') (x_0) = - cos (x_0)

E assim vai...

Passo 2

Ou seja, podemos denotar a função s i n ( x ) por:

sin (x) = sin (x_0) + cos (x_0) (x - x_0) - (sin (x_0))/(2 !) (x - x_0)^2 - (cos (x_0))/(3 !) (x - x_0)^3

+ ... (sin^n (x_0))/(n !) (x - x_0)^n

Se adotarmos x_0 = 0 :

sin (x) = sin (0) + cos (0) x - (sin (0) x^2)/(2 !) - (cos (0) x^3)/(3 !) + ... (sin^n 0 x^n)/(n !)

Passo 3

Como sabemos, sin (0) = 0 e cos (0) = 1

Logo,

sin (x) = x - (x^3)/(3 !) + (x^5)/(5 !) + ... (x^(2 n + 1))/((2 n + 1) !)

Então, como queremos:

sin (1) = 1 - (1)/(3 !) + (1)/(5 !) - (1)/(7 !) + ...

Resposta

Concluimos, utilizando o polinômio de Taylor, que:

sin (1) = 1 - (1)/(3 !) + (1)/(5 !) - (1)/(7 !) + ...

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