6. Mostre que T : R → R dada por T x = a r c t g x 2 é uma contração e determine o único ponto fixo de T.

Passo 1

Seja : R → R dada por T x = a r c t g x 2 .

Pelo TVM, existe c no intervalo aberto de extremidade x   e   y tal que

T x - T y = T ' c x - y = 2 c 4 + c 2 x - y .

Como o valor máximo de 2 x 4 + x 2 é 1 2 (verifique) segue que, quaisquer que sejam x e y,

T x - T y ≤ 1 2 x - y

Logo, T é uma contração. Como T 0 = 0   e   T é contínua, segue que 0 é o único ponto fixo da função.

Resposta

Demonstração.

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