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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 17.3 - Ex. 11

Mostre que se ω 0 ≠ ω , mas ω / ω 0 é um número racional, então o movimento descrito pela equação 6 é periódico.

Passo 1

Olá, tudo bem? Para resolver essa questão, vamos pensar primeiro no que é uma função periódica: ela é uma função que passado algum período T ela se repete, certo? Sendo assim, matematicamente fica:

f t = f ( t + T )

Passo 2

Pois bem, com isso, a equação 6 :

x t = c 1 cos ⁡ ω t + c 2 s e n ω t + F 0 ( ω 2 - ω 0 2 ) c o s ⁡ ( ω 0 t )

Pode ser descrita como uma soma de duas funções dependentes do tempo:

x t = f t + g ( t )

Onde f t e   g ( t ) são:

f t = c 1 cos ⁡ ω t + c 2 s e n ω t

e

g t = F 0 ( ω 2 - ω 0 2 ) c o s ⁡ ( ω 0 t )

Agora amos ver qual é o período de cada uma delas.

Passo 3

O período da f t é bem conhecido: T f = 2 π ω .

Sendo assim:

f t = f ( t + 2 π / ω )

E em um caso mais geral:

f t = f ( t + n 2 π / ω )

Onde n é qualquer número inteiro.

Passo 4

O período da g t é : T f = 2 π ω 0 .

Sendo assim:

g t = g ( t + 2 π / ω )

E em um caso mais geral:

g t = g ( t + n 2 π / ω )

Onde n é qualquer número inteiro.

Passo 5

Ok! Mas o enunciado falou algo bem importante que ainda não foi utilizado: a razão entre as frequências ω e ω 0 é um número racional. Então podemos escrever a razão entre as frequências assim:

ω ω 0 = n n '

Onde n ,   n ' são dois números inteiros e não precisam ser iguais, apenas inteiros.

Então, isolando n temos:

n = ω n ' ω 0

Ok! Agora resgata lá do passo 1 a solução x ( t ) e dos passos 3 e 4 a periodicidade das funções:

x t + n T = f t + n T + g ( t + n T )

x t + n T = f t + n 2 π ω + g t + n 2 π ω

Agora substituindo n = ω n ' / ω 0 no argumento da função g :

x t + n T = f t + n 2 π ω + g t + ω n ' ω 0 2 π ω = f t + n 2 π ω + g t + n ' 2 π ω 0

E como n e n ' são números inteiros, temos a repetição das funções f t e g ( t ) no lado direito da equação:

x t + n T = f t + g t = x ( t )

Pronto! Mostramos o que foi pedido =D

É isso pessoal, espero ter ajudado

Beleza?

Vamos pra próxima?

Resposta

x t + n T = f t + g t = x ( t )

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