Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 17.3 - Ex. 11
Mostre que se , mas é um número racional, então o movimento descrito pela equação é periódico.
Passo 1
Olá, tudo bem? Para resolver essa questão, vamos pensar primeiro no que é uma função periódica: ela é uma função que passado algum período ela se repete, certo? Sendo assim, matematicamente fica:
Passo 2
Pois bem, com isso, a equação :
Pode ser descrita como uma soma de duas funções dependentes do tempo:
Onde são:
e
Agora amos ver qual é o período de cada uma delas.
Passo 3
O período da é bem conhecido: .
Sendo assim:
E em um caso mais geral:
Onde é qualquer número inteiro.
Passo 4
O período da é : .
Sendo assim:
E em um caso mais geral:
Onde é qualquer número inteiro.
Passo 5
Ok! Mas o enunciado falou algo bem importante que ainda não foi utilizado: a razão entre as frequências e é um número racional. Então podemos escrever a razão entre as frequências assim:
Onde são dois números inteiros e não precisam ser iguais, apenas inteiros.
Então, isolando temos:
Ok! Agora resgata lá do passo a solução e dos passos e a periodicidade das funções:
Agora substituindo no argumento da função :
E como e são números inteiros, temos a repetição das funções e no lado direito da equação:
Pronto! Mostramos o que foi pedido =D
É isso pessoal, espero ter ajudado
Beleza?
Vamos pra próxima?