Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 17.3 - Ex. 15
A pilha do exercício é substituída por um gerador produzindo voltagem de . Determine a carga no instante .
Passo 1
Olá, tudo bem? Para resolver essa questão, vamos relembrar a solução da equação diferencial homogênea associada:
Como a equação diferencial homogênea associada não foi modificada, então podemos supor a mesma solução.
Passo 2
O que mudou foi a parte particular. Bom, como a voltagem é do tipo seno, é razoável supor uma solução particular também periódica:
Tá, e agora, o que fazer? Jogar na equação diferencial! Sempre! Para determinar os coeficientes, devemos supor uma solução compatível, derivar uma (às vezes duas) e substituir tudo na equação diferencial!
A equação diferencial do exercício é:
No próximo passo vamos calcular as derivadas e substituir na equação para determinar os coeficientes.
Passo 3
A função é:
A primeira derivada:
E a segunda:
E substituindo na equação:
Igualando os termos temos duas equações:
Da primeira equação temos:
E substituindo na equação de baixo:
E voltando na primeira equação para determinar o valor de
Assim a solução particular é:
Passo 4
A solução geral é a combinação linear da solução homogênea com a particular. Então a solução vai ser:
Agora só falta determinar as constantes e . E elas nós determinamos através das condições iniciais.
No instante inicial a carga é zero, sendo assim :
Sabemos também que a corrente no instante inicial é zero, então , usando a regra do produto:
E no instante inicial:
Passo 5
Agora juntando as soluções com os coeficientes temos finalmente a solução geral: