Mostre que a série dada é convergente:

(b) sum_(n = 2)^(+ oo) (- 1)^n ((n^3)/(n^4 + 3))

Passo 1

Tomando a_n = (n^3)/(n^4 + 3)

Teste para série alternada:

  1. a_n d e c r e s c e n t e
  2. underset(n -> oo)(lim) a_n = 0

È necessário que ocorram simultaneamente.

Passo 2

  1. Basta testar se, a_n = 1 > a_n = 2 > a_n = 3 > ...
  2. Logo,

    underset(n = 2)(ubrace ((8)/(19))) > underset(n = 3)(ubrace ((27)/(84))) > underset(n = 4)(ubrace ((64)/(259))) > ...

    Portanto (i) é verdade no intervalo [ 2 ; + oo [

    Passo 3

  3. Nos resta testar o seguinte limite:

underset(n -> + oo)(lim) ((n^3)/(n^4 + 3)) = 0

Temos então:

underset(n -> + oo)(lim) ((n^3)/(n^4 + 3)) = underset(n -> + oo)(l i m) ((n^3)/(n^4 (1 + (3)/(n^4))))

Como (3)/(n^4) -> 0 q u a n d o n -> oo :

underset(n -> + oo)(l i m) ((1)/(n)) = 0

Então (ii) também é satisfeito.

Resposta

(b) Concluimos então que sum_(n = 2)^(+ oo) (- 1)^n ((n^3)/(n^4 + 3)) é convergente.

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