Mostre que a série dada é convergente:

(d) sum_(n = 0)^(+ oo) 2^(- n)

Passo 1

Tomando a_n = 2^(- n)

Teste para série alternada:

  1. a_n d e c r e s c e n t e
  2. underset(n -> oo)(lim) a_n = 0

È necessário que ocorram simultaneamente.

Passo 2

  1. Primeiramente devemos testar se, a_n = 1 > a_n = 2 > a_n = 3 > ...
  2. Então,

    underset(k = 0)(ubrace ( 2^0 )) > underset(k = 1)(ubrace ( 2^(- 1) )) > underset(k = 2)(ubrace ( 2^(- 2) )) > underset(k = 3)(ubrace ( 2^(- 3) )) > ...

    Trivialmente, (i) é satisfeito.

    Passo 3

  3. Resta testarmos,

underset(n -> + oo)(lim) 2^(- n) = 0

Temos,

underset(n -> + oo)(l i m) ((1)/(2^n)) = 0

Pois quando n -> + oo , 2^n -> + oo e trvialmente ((1)/(2^n)) -> 0

Portanto (ii) também é satisfeito.

Resposta

Concluimos então que a série sum_(n = 0)^(+ oo) 2^(- n) é convergente.

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