Mostre que:

sum_(k = 0)^(+ oo) (- 1)^k (1)/((2 k + 1) 3^k) = (pi sqrt(3))/(6)

Sugestão: (pi)/(6) = a r c t g (sqrt(3))/(3) .

Passo 1

Bom galerinha, o problema nos disse que:

(pi)/(6) = a r c t g (sqrt(3))/(3)

Também vimos nos exemplos do capítulo que:

a r c t g alpha = sum_(k = 0)^(+ oo) (- 1)^k (alpha^(2 k + 1))/((2 k + 1))

Tudo bem até aqui, certo?

Se:

alpha = (sqrt(3))/(3)

Então:

a r c t g ((sqrt(3))/(3)) = (pi)/(6) = sum_(k = 0)^(+ oo) (- 1)^k (((sqrt(3))/(3))^(2 k + 1))/((2 k + 1))

Se reorganizarmos:

(pi)/(6) = sum_(k = 0)^(+ oo) (- 1)^k ((sqrt(3))^(2 k + 1))/((2 k + 1) (3)^(2 k + 1))

(pi)/(6) = sum_(k = 0)^(+ oo) (- 1)^k ((sqrt(3)^2)^k sqrt(3))/((2 k + 1) (3^2)^k . 3)

(3 pi)/(6 sqrt(3)) = sum_(k = 0)^(+ oo) (- 1)^k ((3)^k)/((2 k + 1) (9)^k)

(3 pi)/(6 sqrt(3)) = sum_(k = 0)^(+ oo) (- 1)^k (1)/((2 k + 1)) . ((3)/(9))^k

(sqrt(3) pi)/(6) = sum_(k = 0)^(+ oo) (- 1)^k (1)/((2 k + 1)) . ((1)/(3))^k

(sqrt(3) pi)/(6) = sum_(k = 0)^(+ oo) (- 1)^k (1)/((2 k + 1) . 3^k)

Então nós comprovamos o que queríamos, certo?

Bora continuar?

Resposta

C o m o v i s t o a c i m a ‼

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