Considerando a sequencia a m ,   m ≥ 0 , com a 0 = 1 e a m > 0 para todo m, dada por:

2   a r c t g   a m =   a r c t g   a m - 1

Mostre que:

π - 2 m + 2 ∑ k = 0 n - 1 k a m 2 k + 1 2 k + 1 ≤ 4 2 n + 3 4 m ( n + 1 )

Passo 1

Bom galerinha, se nós analisarmos o exemplo 7 nós podemos concluir que:

a r c t g   a m = ∑ k = 0 n - 1 k a m 2 k + 1 2 k + 1

De acordo com a letra (b) nós concluímos que:

π = 4 . 2 m a r c t g   a m  

π = 2 m + 2 a r c t g   a m

De acordo com a primeira relação:

π = 2 m + 2 ∑ k = 0 n - 1 k a m 2 k + 1 2 k + 1

Então o valor de π pode ser obtido por meio dessa somatória, mas mesmo assim este valo ter um erro quando comparado com o valor real, concordam?

Da letra (c) nós temos que:

a m ≤ a 0 2 m = 1 2 m

Então:

π - 2 m + 2 ∑ k = 0 n - 1 k a m 2 k + 1 2 k + 1 ≤ 2 m + 2 1 2 m 2 n + 3 2 n + 3

π - 2 m + 2 ∑ k = 0 n - 1 k a m 2 k + 1 2 k + 1 ≤ 2 m + 2 1 2 2 m n 1 2 3 m 2 n + 3

π - 2 m + 2 ∑ k = 0 n - 1 k a m 2 k + 1 2 k + 1 ≤ 2 m + 2 1 4 m n 1 4 m 1 2 m 2 n + 3

π - 2 m + 2 ∑ k = 0 n - 1 k a m 2 k + 1 2 k + 1 ≤ 2 m + 2 1 2 m 2 n + 3 4 m n + m

π - 2 m + 2 ∑ k = 0 n - 1 k a m 2 k + 1 2 k + 1 ≤ 4 2 n + 3 4 m ( n + 1 )

Tranquilinha, né?

Resposta

C o m o   v i s t o   a c i m a   ‼

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