O movimento de uma partícula no plano é descrito pelo sistema:

x ˙ = 1 + x 4 y ˙ = - 4 x 3 y

Desenhe a trajetória descrita pela partícula supondo que ela inicia o movimento na posição ( 0 ,   1 ) .

Passo 1

Escrevendo a equação na forma:

P x , y d x + Q x , y d y = 0

Temos:

4 x 3 y d x + 1 + x 4 d y = 0

Rearranjando:

d y d x = - 4 x 3 y ( 1 + x 4 )

Passo 2

Isolando as variáveis:

d y y = - 4 x 3 1 + x 4 d x

∫ d y y = - ∫ 4 x 3 1 + x 4 d x

Integrando, obtemos:

ln ⁡ y = - ln ⁡ ( 1 + x 4 ) + c

Aplicando exponencial:

y = e c 1 + x 4

Passo 3

A partícula inicia o movimento em ( 0 ,   1 ) , então:

1 = e c 1 + 0 4

e c = 1

c = 0

Desse modo:

y = 1 1 + x 4

Obtendo um gráfico:

Resposta

y = 1 1 + x 4

Ver Outros Exercícios desse livro