Considere a equação

x 2 - y 2 d x + x y   d y = 0

Passe para coordenadas polares e determine uma solução y = y ( x ) tal que y 1 = 1 .

Passo 1

Primeiro passando a equação para coordenadas polares:

x = ρ cos ⁡ θ y = ρ   s e n   θ

Desse modo, temos:

d x = cos ⁡ θ d ρ - ρ   s e n   θ   d θ d y = s e n   θ   d ρ + ρ cos ⁡ θ   d θ

Substituindo na equação dada:

ρ 2 cos 2 ⁡ θ - ρ 2 s e n 2   θ cos ⁡ θ d ρ - ρ   s e n   θ   d θ + ( ρ 2 s e n θ cos ⁡ θ ) s e n   θ   d ρ + ρ cos ⁡ θ   d θ = 0

Abrindo a equação:

ρ 2 cos 3 ⁡ θ d ρ - ρ 3 cos 2 ⁡ θ   s e n   θ   d θ - ρ 2 s e n 2   θ cos ⁡ θ d ρ + ρ 3 s e n 3   θ   d θ + ρ 2 s e n 2 θ cos ⁡ θ d ρ + ρ 3 s e n   θ cos 2 ⁡ θ d θ = 0

Juntando os termos em comum:

ρ 2 cos 3 ⁡ θ - ρ 2 s e n 2   θ cos ⁡ θ + ρ 2 s e n 2 θ cos ⁡ θ d ρ + - ρ 3 cos 2 ⁡ θ   s e n   θ + ρ 3 s e n 3   θ + ρ 3 s e n   θ cos 2 ⁡ θ d θ = 0

Simplificando:

ρ 2 cos 3 ⁡ θ d ρ + ρ 3 s e n 3   θ d θ = 0

Passo 2

Separando as variáveis:

d ρ d θ = - ρ 3 s e n 3 θ ρ 2 cos 3 ⁡ θ = - ρ s e n 3 θ cos 3 ⁡ θ = - ρ tan 3 ⁡ θ

d ρ ρ = - tan 3 ⁡ θ d θ

∫ d ρ ρ = - ∫ tan 3 ⁡ θ d θ

Integrando:

ln ⁡ ρ = ln ⁡ ( sec ⁡ θ ) - sec 2 ⁡ θ 2 - c

ln ⁡ ρ = ln ⁡ 1 cos ⁡ θ - 1 cos 2 ⁡ θ 2 - c

Voltando para coordenadas x e y :

ln ⁡ ρ = ln ⁡ ρ x - ρ 2 2 x 2 - c

ln ⁡ ρ = ln ⁡ ρ - ln ⁡ x - ρ 2 2 x 2 - c

ln ⁡ x = - ρ 2 2 x 2 - c = - x 2 + y 2 2 x 2 - c

ln ⁡ x + c = - x 2 + y 2 2 x 2

Passo 3

Sabendo que y 1 = 1 :

0 + c = - 1 2 + 1 2 2 ⋅ 1 2

c = - 1

Então:

ln ⁡ x - 1 = - x 2 + y 2 2 x 2

2 x 2 1 - ln ⁡ x = x 2 + y 2

y 2 = 2 x 2 1 - ln ⁡ x - x 2

y = x 2 - 2 ln ⁡ x - 1

y = x 1 - 2 ln ⁡ x

Resposta

y = x 1 - 2 ln ⁡ x

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