Olhando para o Exercício 4 (e sem fazer contas !), diga qual o raio de convergência da série dada:

  1. ∑ n = 0 + ∞ n ³ + n + 1 n 4 + 1 x n

Passo 1

Vamos continuar!!

Animados?

Então galera, no exercício 4 nós comprovamos que o raio de convergência será o supremo de A, definido como:

A = x ≥ 0   lim k → ∞ ⁡ a k x k = 0 }

Então:

R = sup ⁡ x ≥ 0   lim k → ∞ ⁡ a k x k = 0 }

Sendo assim, o raio de convergência é o valor superior que permite satisfazer a condição lim k → ∞ ⁡ a k x k = 0 ,   tranquilo?

Analisando a nossa função, nós precisamos ter lim k → ∞ ⁡ k ³ + k + 1 k 4 + 1 x k = 0 !

O valor mínimo que temos é x = 0 , neste caso:

lim k → ∞ ⁡ k ³ + k + 1 k 4 + 1 0 k = 0

Quando analisamos x = 1 :

lim k → ∞ ⁡ k ³ + k + 1 k 4 + 1 . 1 k = 0

Valores entre 0 e 1 vão crescer muito mais quando elevados a um número muito grande, k, do que o k³, podem testar ai na calculadora de vocês !!

Então o valor supremo da nossa série é 1, não é?

Ou seja:

R = sup ⁡ [ 0,1 [

E é isso aí!!

Resposta

R = sup ⁡ [ 0,1 [

Ver Outros Exercícios desse livro