Considere a série de potência ∑ n = 0 + ∞ a n x n . Seja A = x ≥ 0   lim k → ∞ ⁡ a k x k = 0 } . Prove que o raio de convergência da série é o supremo do conjunto A.

Passo 1

Muito bem galera !! O que queremos aqui?

Provar que o raio de convergência da série é o supremo do conjunto A, não é mesmo?

E por onde começamos?

Vamos com calma!!

A nossa série de potência é dada por:

∑ n = 0 + ∞ a n x n

Enquanto nosso A é definido como:

A = x ≥ 0   lim k → ∞ ⁡ a k x k = 0 }

Isso nós já sabíamos! Mas quando nós temos um s > 0 , então:

lim k → ∞ ⁡ a k s k = 0

E quando nós temos um x < 0 , então:

lim k → ∞ ⁡ a k x k = 0

Isso só é possível porque nós temos uma igualdade:

| a k x k | = a k s k x s k

Para x s < 1 , então:

lim k → ∞ ⁡ a k x k = 0

Passo 2

Quando nós temos o R sendo o valor supremo de A, nós teremos:

lim k → ∞ ⁡ a k s k = 0

Para todos os valores de s, lembrando que:

s   ϵ   ] 0 ,   R [

Eu sei que é cansativo entender, mas vamos pensar mais um pouquinho sobre isso!

Se nós tivermos | x | < R e s   ϵ   ] 0 ,   R [ , consequentemente x < s , certo?

Se nós temos lim k → ∞ ⁡ a k s k = 0 e tomarmos 0 < ε < 1 , então vai existir um número n natural tal que teremos a k s k ≤ ε para todo k ≥ n .

Se isso é verdade nós podemos modificar um pouquinho a igualdade do Passo 1:

a k x k = a k s k x s k ≤ ε x s k

Se é assim, então a série irá convergir!!

Então nós teremos que para todo valor de x, tal que - R < x < R , a série será absolutamente convergente. Agora, quando temos x > R a série será divergente pois lim k → ∞ ⁡ a k s k ≠ 0 .

Então o R será o raio de convergência da série, não é?

Sendo assim, o R será o valor supremo de A:

R = sup ⁡ x ≥ 0   lim k → ∞ ⁡ a k x k = 0 }

Eu sei galerinha, demonstrações são pesadas, mas olhem com carinho e vocês conseguirão entender !!

Resposta

R = sup ⁡ x ≥ 0   lim k → ∞ ⁡ a k x k = 0 }

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