Considere a série de potência . Seja . Prove que o raio de convergência da série é o supremo do conjunto A.
Passo 1
Muito bem galera !! O que queremos aqui?
Provar que o raio de convergência da série é o supremo do conjunto A, não é mesmo?
E por onde começamos?
Vamos com calma!!
A nossa série de potência é dada por:
Enquanto nosso A é definido como:
Isso nós já sabíamos! Mas quando nós temos um , então:
E quando nós temos um , então:
Isso só é possível porque nós temos uma igualdade:
Para então:
Passo 2
Quando nós temos o R sendo o valor supremo de A, nós teremos:
Para todos os valores de s, lembrando que:
Eu sei que é cansativo entender, mas vamos pensar mais um pouquinho sobre isso!
Se nós tivermos e , consequentemente certo?
Se nós temos e tomarmos então vai existir um número natural tal que teremos para todo
Se isso é verdade nós podemos modificar um pouquinho a igualdade do Passo 1:
Se é assim, então a série irá convergir!!
Então nós teremos que para todo valor de x, tal que , a série será absolutamente convergente. Agora, quando temos a série será divergente pois
Então o R será o raio de convergência da série, não é?
Sendo assim, o R será o valor supremo de A:
Eu sei galerinha, demonstrações são pesadas, mas olhem com carinho e vocês conseguirão entender !!