Uma partícula desloca-se no eixo O x de modo que a soma da velocidade com a posição x = x t é constante e igual a 2 . Sabe-se que x 0 = 0 .

a) Determine a posição x = x t da partícula no instante t .

Passo 1

Legal, o enunciado diss que a soma da velocidade com a posição é uma constante igual a 2 . Sabemos que se a posição é x = x t , a velocidade é

v t = d x d t

Portanto,

d x d t + x = 2

Trata-se de uma EDO linear de primeira ordem do tipo

d x d t + a x = f t

Nós precisamos achar o fator integrante

I = e ∫ a   d t e a t

Como a = 1 :

I = e t

Multiplicamos a equação por esse fator:

d x d t e t + x   e t = 2 e t

Passo 2

Note que o lado direito é fatorado como

d x d t e t + x   e t = d d t x   e t

Assim,

d d t x   e t = 2 e t

Integrando dos dois lados:

x   e t = ∫ 2 e t   d t = 2 e t + C

Portanto,

x = 2 e t e t + C e t

Ou ainda:

x t = 2 + C e - t

Passo 3

Usando a condição inicial x 0 = 0 :

0 = 2 + C e 0

Logo,

C = - 2

Portanto,

x t = 2 1 - e - t

Resposta

x t = 2 1 - e - t

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