Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 6.1 - Ex. 4a

Uma partícula desloca-se em um plano de forças dado por F → x , y , z = - y i → + x j → + z k → . Calcule o trabalho realizado por F → no deslocamento da partícula de γ a até γ b , sendo dados

  1. γ t = cos ⁡ t , sen ⁡ t ,   t ,   a = 0 e b = 2 π
  2. γ t = 2 t + 1 , t - 1 ,   t ,   a = 1 e b = 2
  3. γ t = cos ⁡ t , 0 ,   s e n ⁡ t ,   a = 0 e b = 2 π

Passo 1

Oi pessoal, vamos resolver esta questão.

Para calcular o trabalho realizado pelo campo de força, temos que:

τ = ∫ γ F → ⋅ d r →

Sabemos que esta integral de linha é calculada por:

∫ γ F → ⋅ d r → = ∫ a b F → γ t ⋅ γ ' t d t = 0

Queremos então, os termos F → γ t e γ ' t . Para o item (a) temos que:

γ t = cos ⁡ t , sen ⁡ t ,   t

Onde x = cos ⁡ t , y = sen ⁡ t e z = t .

Portanto:

F → x , y , z = - y i → + x j → + z k →

F → x , y , z = - sen ⁡ t i → + cos ⁡ t j → + t k →

Ou:

F → x , y = - sen ⁡ t , cos ⁡ t ,   t

A derivada de γ t vale:

γ ' t = - sen ⁡ t , cos ⁡ t ,   1

Portanto:

F → γ t ⋅ γ ' t = - sen ⁡ t , cos ⁡ t ,   t ⋅ - sen ⁡ t , cos ⁡ t ,   1

Resolvendo este produto, temos que:

F → γ t ⋅ γ ' t = sin 2 ⁡ t + cos 2 ⁡ t + t

F → γ t ⋅ γ ' t = 1 + t

Aplicando à integral, nos limites fornecidos, temos que:

∫ γ F → ⋅ d r → = ∫ 0 2 π 1 + t d t

∫ γ F → ⋅ d r → = t + t 2 2 0 2 π

Resolvendo, temos que:

∫ γ F → ⋅ d r → = 2 π + 2 π 2 2 - 0 + 0 2 2 = 2 π 2 + 2 π

∫ γ F → ⋅ d r → = 2 π π + 1

Resposta

τ = ∫ γ F → ⋅ d r → = 2 π π + 1

Ver Outros Exercícios desse livro