Uma partícula de massa m = 1 desloca-se sobre o eixo O x sob ação da força elástica - x   i → e de uma força de amortecimento proporcional à velocidade dada por - c x ˙   i → ( c > 0 ) . Determine c para que o movimento seja:

(b) Criticamente amortecido

Passo 1

Lembrando, pela segunda Lei de Newton:

m x ¨ = - x - c x ˙

Então,

x ¨ + c x ˙ + x = 0

Temos então, uma EDL homogênea de 2º ordem, podemo encontrar a solução geral pelo método dos coeficientes constantes aplicando uma equação auxiliar.

Passo 2

Por definição sabemos que o sistema será criticamente amortecido, quando as raízes da equação auxiliar forem reais e iguais.

Podemos utilizar a seguinte equação auxiliar:

m 2 + c m + 1 = 0

m = - c ± c 2 - 4 2

Passo 3

Teremos então que:

m 1 = m 2 = - c ± c 2 - 4 2

Isso acontece somente quando

c 2 - 4 = 0

Ou seja, para

c = 2

Pois de acordo com o enunciado c > 0 .

Resposta

A equação que rege o sitema com amortecimento crítico:

x ¨ + 2 x ˙ + x = 0

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