Uma partícula de massa m = 1 desloca-se sobre o eixo O x sob ação da força elástica - x   i → e de uma força de amortecimento proporcional à velocidade dada por - 2 x ˙   i → . Determine a posição x = x t ,   t ≥ 0 , da partícula no instante t   e discuta o movimento, supondo:

(b) x 0 = 1     e     x ˙ 0 = - 2

Passo 1

Lembrando, pela segunda Lei de Newton:

m x ¨ = - k x - c x ˙

A equação que rege o movimento é,

x ¨ + 2 x ˙ + x = 0

Temos então, uma EDL homogênea de 2º ordem, podemo encontrar a solução geral pelo método dos coeficientes constantes aplicando uma equação auxiliar.

Passo 2

Nossa equação auxiliar será:

m 2 + 2 m + 1 = 0

Resolvendo, encontramos as seguintes raízes:

m 1 = m 2 = - 1

A solução geral será dada por:

x t = C 1   e - t + t   C 2   e - t

E

x ˙ t = - C 1 e - t + C 2 e - t - t C 2 e - t

Passo 3

Aplicando as condições iniciais:

x 0 = 1 x ˙ 0 = - 2

Podemos encontrar:

C 1 = 1     e   C 2 = - 1

Portanto a equação da posição num instante t é dada por:

x t = e - t -   t   e - t = e - t [ 1 - t ]

Resposta

Temos então,

x t = e - t [ 1 - t ]

Percebemos que a partícula vai oscilar uma única vez em torno da origem ( t = 1 ) , e após isso com t → ∞ ,   x → 0 .

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