Uma partícula de massa m = 1 desloca-se sobre o eixo O x sob ação da força elástica - 2 x   i → e de uma força de amortecimento proporcional à velocidade dada por - 2 x ˙   i → . Suponha x 0 = 0   e   x ˙ 0 = 1 . Determine a posição x = x t ,   t ≥ 0 , e discuta o movimento

Passo 1

Lembrando, pela segunda Lei de Newton:

m x ¨ = - k x - c x ˙

A equação que rege o movimento é,

x ¨ + 2 x ˙ + 2 x = 0

Temos então, uma EDL homogênea de 2º ordem, podemo encontrar a solução geral pelo método dos coeficientes constantes aplicando uma equação auxiliar.

Passo 2

Nossa equação auxiliar será:

m 2 + 2 m + 2 = 0

Resolvendo, encontramos as seguintes raízes complexas:

m 1 = 1 + 1   i  

m 2 = 1 - 1   i

Com a = - 1   e   b = 1

Logo, a solução geral será dada por:

x t = e a t C 1 cos ⁡ b t + C 2 sin ⁡ b t

x t = e - t C 1 cos ⁡ t + C 2 sin ⁡ t

E então,

x ˙ t = e - t cos ⁡ t C 2 - C 1 - sin ⁡ t C 2 + C 1

Passo 3

Aplicando as condições iniciais:

x 0 = 0 x ˙ 0 = 1

Encontramos que:

C 1 = 0   e   C 2 = 1

Portanto a equação da posição num instante t é dada por:

x t = e - t   sin ⁡ t ,   t ≥ 0  

Resposta

Trata-se de um movimento oscilatório amortecido, com a partícula oscilando em torno da origem com amplitudes cada vez menores, pois quando t → ∞ ,   e - t → 0   .

Ver Outros Exercícios desse livro