4. Uma partida de massa m = 1 desloca-se sobre o eixo 0 x sob a ação de uma força F → que depende do tempo t e da velocidade v dada por F → t ,   v = v 1 + t i → . Sabe-se que no instante t = 0 a partida encontra-se na posição x = x 0 e neste instante sua velocidade é v = v 0 com v 0 ≠ 0 . Verifique que a partida descreve um movimento uniformemente acelerado com aceleração v 0 .

Passo 1

Ora, sabemos que massa e aceleração formam força, pela Lei de Newton:

F = m a

Como a nossa força tem módulo v 1 + t . Então...

v 1 + t = m a

A aceleração e a velocidade podem ser definidas em termos da derivada do deslocamento:

d x d t 1 + t = m d 2 x d t 2         →

x ' 1 + t = m x ' '   →

Então...

x ' ' - x ' 1 + t = 0

Passo 2

SIM! Essa é uma EDO de segunda ordem, linear, homogênea, coeficientes variáveis e ainda com o termo de que multiplica y zerado. Podemos resolvê-la dessa forma aqui:

u = x '

Então como u ' = x ' ' , podemos substituir na nossa equação:

x ' ' - x ' 1 + t = 0   →

u ' - u 1 + t = 0   →

EPA! Chegamos a uma equação linear de primeira ordem homogênea que conseguimos resolver sabendo que:

u = A e - ∫ - 1 1 + t d x →

u = A e ∫ 1 1 + t d x

Passo 3

Vamos integrar então!

∫ 1 1 + t d t =

ln ⁡ 1 + t + C

Então, jogando esse resultado sem essa constante de integração na nossa solução de u :

u = A e ln ⁡ 1 + t   →

u = A 1 + t  

Ótimo! Porque como x ' é u , vamos precisar integrar:

x ' = u   →

x = ∫ A 1 + t   d t →

x = A t + t 2 2 + B →

x = A t + A t 2 2 + B

Bem, no instante t = 0 , a sua velocidade é v 0 . A velocidade da partícula é x ' , ou seja, u :

x ' = u   →

u t = A 1 + t   →

u 0 = A       →

A = v 0

Passo 4

Poxa, como queremos saber sobre a aceleração, bem ela é segunda derivada de x :

a = x ' '   →

x ' = A + A t →

x ' ' = A =

v 0

Então de fato estamos falando de um movimento uniformemente acelerado de aceleração igual a v 0 .

Resposta

a = v 0

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