4. Uma partida de massa desloca-se sobre o eixo sob a ação de uma força que depende do tempo e da velocidade dada por . Sabe-se que no instante a partida encontra-se na posição e neste instante sua velocidade é com . Verifique que a partida descreve um movimento uniformemente acelerado com aceleração .
Passo 1
Ora, sabemos que massa e aceleração formam força, pela Lei de Newton:
Como a nossa força tem módulo . Então...
A aceleração e a velocidade podem ser definidas em termos da derivada do deslocamento:
Então...
Passo 2
SIM! Essa é uma EDO de segunda ordem, linear, homogênea, coeficientes variáveis e ainda com o termo de que multiplica zerado. Podemos resolvê-la dessa forma aqui:
Então como , podemos substituir na nossa equação:
EPA! Chegamos a uma equação linear de primeira ordem homogênea que conseguimos resolver sabendo que:
Passo 3
Vamos integrar então!
Então, jogando esse resultado sem essa constante de integração na nossa solução de :
Ótimo! Porque como é , vamos precisar integrar:
Bem, no instante , a sua velocidade é . A velocidade da partícula é , ou seja, :
Passo 4
Poxa, como queremos saber sobre a aceleração, bem ela é segunda derivada de :
Então de fato estamos falando de um movimento uniformemente acelerado de aceleração igual a .