1. Resolva.

A - y^(' ') + tan (x) y^' = 0 , - (pi)/(2) < x < (pi)/(2)

Passo 1

Ora, pela teoria, sabemos que podemos encontrar a solução de EDO de segunda ordem, linear, homogênea, coeficientes variáveis e ainda com o termo de que multiplica y zerado dessa forma aqui:

u = y '

Então como u^' = y ' ' , podemos substituir na nossa equação:

u^' + tan (x) u = 0

EPA! Chegamos a uma equação linear de primeira ordem homogênea que conseguimos resolver sabendo que:

u = A e^(- int tan (x) d x)

Passo 2

Como a integral de tangente a gente já conhece...

int tan (x) d x = - ln |cos (x)| + C

Então, jogando esse resultado sem essa constante de integração na nossa solução de u :

u = A e^(- (- ln |cos (x)|)) ->

u = A e^(ln |cos (x)|) ->

u = A cos x

Ótimo! Porque como y ' é u , vamos precisar integrar:

y^' = u ->

y = int u d x ->

Integrando então...

y = int A cos x d x ->

y = A sin (x) + B

B é a constante de integração.

Resposta

y = A sin (x) + B

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