Poder ser provado que a equação

y ' = x 2 + cos ⁡ y

admite uma solução y = ϕ x definida no intervalo - 1 2 , 1 2 e satisfazendo a condição inicial ϕ 0 = 0 . Utilizando a fórmula de Taylor com resto de Lagrange, mostre que, para todo x em - 1 2 , 1 2 ,

ϕ x - x ≤ 9 8 x 2

Avalise ϕ x para x = 0,01 . Estime o erro.

Passo 1

Bom, o primeiro passo para esse problema é achar o polinômio de Taylor de ordem 1 de ϕ em torno de x 0 = 0 :

P 1 x = ϕ x 0 + d ϕ d x x 0 x - x 0

Como x 0 = 0 , a expressão fica:

P 1 x = ϕ 0 + d ϕ d x 0   x

Como ϕ deve satisfazer a equação diferenciaç, devemos ter

d ϕ d x x = x 2 + cos ⁡ ϕ x

Fazendo x = 0 :

d ϕ d x 0 = 0 2 + cos ⁡ ϕ 0

Como ϕ 0 = 0 :

d ϕ d x 0 = cos ⁡ 0 = 1

Logo,

P 1 x = 0 + 1 ⋅ x = x

Passo 2

O erro E 1 x = ϕ x - P 1 x é dado por

E 1 x = 1 2 d 2 ϕ d x 2 x -   x - x 0 2

para algum x - entre x e x 0 . Logo,

E 1 x = 1 2 d 2 ϕ d x 2 x -   x 2

Para achar a segunda derivada, temos que usar a equação

d ϕ d x x = x 2 + cos ⁡ ϕ x

Derivando ela:

d 2 ϕ d x 2 x = 2 x - s e n   ϕ x ⋅ ϕ ' x

Mas como

ϕ ' x = x 2 + cos ⁡ ϕ x

Temos que

d 2 ϕ d x 2 x = 2 x - s e n   ϕ x   x 2 + cos ⁡ ϕ x

Ou ainda,

d 2 ϕ d x 2 x = 2 x - x 2   s e n   ϕ x - 1 2   s e n   2 ϕ x

Logo,

d 2 ϕ d x 2 x - = 2 x - - x - 2   s e n   ϕ x - - s e n   ϕ x cos ⁡ ϕ x

para algum x - entre x 0 = 0 e x , com x ∈ - 1 2 , 1 2 . Vemos então que

x - ≤ 1 2 ⇒ x - 2 ≤ 1 4

Logo,

x - 2   s e n   ϕ x - = x - 2   s e n   ϕ x - ≤ 1 4 ⋅ 1 = 1 4

Da mesma forma,

s e n   ϕ x cos ⁡ ϕ x ≤ 1

2 x - ≤ 2 ⋅ 1 2 = 1

Note que

d 2 ϕ d x 2 x - = 2 x - - x - 2   s e n   ϕ x - + s e n   ϕ x cos ⁡ ϕ x

Pela desigualdade triangular a + b ≤ a + b :

x - 2   s e n   ϕ x - + s e n   ϕ x cos ⁡ ϕ x ≤ x - 2   s e n   ϕ x - + s e n   ϕ x cos ⁡ ϕ x ≤ 1 4 + 1 = 5 4

Da mesma forma, a - b = a + - b ≤ a + - b = a + b :

2 x - - x - 2   s e n   ϕ x - + 1 2   s e n   2 ϕ x - ≤ 2 x - + x - 2   s e n   ϕ x - + 1 2   s e n   2 ϕ x - ≤ 1 + 5 4 = 9 4

Portanto,

d 2 ϕ d x 2 x - ≤ 9 4

Com isso,

E 1 x = 1 2 d 2 ϕ d x 2 x -   x 2 ≤ 1 2 ⋅ 9 4 x 2 = 9 8 x 2

Passo 3

Como

E 1 x = ϕ x - P 1 x = ϕ x - x

Temos que

E 1 x ≤ 9 8 x 2 ⇒ ϕ x - x ≤ 9 8 x 2

Era isso que o exercício pedia para mostrarmos!

Assim, para x = 0,01 :

ϕ 0,01 = 0,01

O erro cometido é

E 1 0,01 ≤ 9 8 0,01 2 = 9 8 ⋅ 10 - 4

Resposta

Demonstração.

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