Poder ser provado que a equação
admite uma solução definida no intervalo e satisfazendo a condição inicial . Utilizando a fórmula de Taylor com resto de Lagrange, mostre que, para todo em ,
Avalise para . Estime o erro.
Passo 1
Bom, o primeiro passo para esse problema é achar o polinômio de Taylor de ordem de em torno de :
Como , a expressão fica:
Como deve satisfazer a equação diferenciaç, devemos ter
Fazendo :
Como :
Logo,
Passo 2
O erro é dado por
para algum entre e . Logo,
Para achar a segunda derivada, temos que usar a equação
Derivando ela:
Mas como
Temos que
Ou ainda,
Logo,
para algum entre e , com . Vemos então que
Logo,
Da mesma forma,
Note que
Pela desigualdade triangular :
Da mesma forma, :
Portanto,
Com isso,
Passo 3
Como
Temos que
Era isso que o exercício pedia para mostrarmos!
Assim, para :
O erro cometido é
Resposta
Demonstração.