Seja y = ϕ ( x ) , x ∈   ] - r ,   r [ uma solução da equação

y ' = x e y 2

satisfazendo a condição inicial ϕ 0 = y 0 , onde y 0 é um real dado. Prove que ϕ é uma função par.

Passo 1

Queremos provar que ϕ é uma função par

ϕ - x = ϕ x

Como ϕ é solução da equação:

ϕ ' x = x e ϕ x 2

Assim,

ϕ ' - x = - x e ϕ - x 2

Vamos definir uma função que é

ϕ 1 x = ϕ - x

Assim,

ϕ ' - x = - x e ϕ 1 x 2

Vamos guardar essa relação!

Passo 2

Derivando a relação ϕ 1 x = - ϕ - x , achamos que

ϕ 1 ' x = ϕ ' - x ⋅ - x '

Assim,

ϕ 1 ' x = - ϕ ' - x

Com isso, a equação ϕ ' - x = - x e ϕ 1 x 2 pode ser escita como

- ϕ 1 ' x = - x e ϕ 1 x 2

Ou ainda,

ϕ 1 ' x = x e ϕ 1 x 2

Com isso, vemos que ϕ 1 x é solução da equação

y ' = x e y 2

Passo 3

Vemos então que tanto ϕ x como ϕ 1 x são soluções da equação diferencial. Mas lembre-se que

ϕ - x = ϕ 1 x

Logo,

ϕ 0 = ϕ 1 0

Mas como ϕ 0 = y 0 , segue que

ϕ 1 0 = y 0

Portanto, tanto ϕ como ϕ 1 são soluções da equação satisfazendo a mesma condição inicial:

ϕ 0 = ϕ 1 0 = y 0

Pelo teorema da existência e unicidade, essa solução devia ser única. Portanto, devemos ter

ϕ x = ϕ 1 x

Mas como ϕ 1 x = ϕ - x , temos que

ϕ x = ϕ - x

Ou ainda,

ϕ - x = ϕ x

Provamos que ϕ é uma função par!

Resposta

Demonstração.

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