Seja , uma solução da equação
satisfazendo a condição inicial , onde é um real dado. Prove que é uma função par.
Passo 1
Queremos provar que é uma função par
Como é solução da equação:
Assim,
Vamos definir uma função que é
Assim,
Vamos guardar essa relação!
Passo 2
Derivando a relação , achamos que
Assim,
Com isso, a equação pode ser escita como
Ou ainda,
Com isso, vemos que é solução da equação
Passo 3
Vemos então que tanto como são soluções da equação diferencial. Mas lembre-se que
Logo,
Mas como , segue que
Portanto, tanto como são soluções da equação satisfazendo a mesma condição inicial:
Pelo teorema da existência e unicidade, essa solução devia ser única. Portanto, devemos ter
Mas como , temos que
Ou ainda,
Provamos que é uma função par!
Resposta
Demonstração.