Enunciado
Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 4.4 - Ex. 18
Nos problemas 1-26, resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes indeterminados.
18.
Passo 1
Então pessoal, para resolvermos os exercícios dessa seção devemos seguir uma espécie de passo a passo, beleza? A equação que nos é dada tem o seguinte formato:
A solução geral desse tipo de equação diferencial, que é a de coeficientes indeterminados, tem essa cara aqui ó:
Mas o que são esses sub-indíces aí? Então, é uma solução particular e é uma solução complementar. Para encontrarmos basta reduzirmos a equação diferencial a uma equação quadrática para encontrar as raízes. Uma vez que encontramos as raízes teremos três resultados possíveis, assim como demonstrado e discutido na seção em questão.
Agora para não existe uma solução pronta ou algo do tipo, pois como se trata de uma solução particular, então teremos que analisar cada função de que o problema der, já que serão sempre distintas para cada questão.
Mas agora chega de conversa, né? Vamos colocar essa discussão em prática para vermos como funciona esse trem todo aí!
Passo 2
Nossa equação é essa aqui:
Para encontrarmos vamos fazer: , ok? Logo:
Aplicando Bháskara:
Então encontramos que:
Como as raízes são complexas teremos a seguinte solução complementar:
Show!
Passo 3
Da nossa equação diferencial tiramos que:
Como a exponencial que aparece é diferente da nossa solução particular, então podemos inserir apenas na nossa solução particular sem medo. Sendo assim, uma solução particular interessante seria:
E então devemos determinar coeficientes específicos e para que seja uma solução particular da nossa equação. Derivando, teremos:
Substituindo na nossa equação diferencial, teremos:
Como temos uma identidade podemos tirar o seguinte:
Então vamos resolver esse sistema aí!
Passo 4
Da primeira equação nós tiramos que:
Substituindo na segunda equação, teremos:
Substituindo na primeira equação:
Agora que determinamos e , temos que será:
Dessa forma, temos que nossa solução geral será:
E está aí nossa resolução, galera! 😉