Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 3.3 - Ex. 42
Equações de Euler.
Uma equação da forma
(ii)
em que e são constantes reais, é chamada de equação de Euler.
(a) Seja e calcule e em termos de e .
(b) Use os resultados do item (a) para transformar a Eq. (ii) em
(iii)
Note que a Eq. (iii) tem coeficientes constantes. Se e formarem um conjunto fundamental de soluções da Eq. (iii), então e formarão um conjunto fundamental de soluções da Eq. (ii).
Passo 1
A primeira coisa que a questão pede é pra colocar a expressão no formato da equação de Euler então teremos que identificar 2 termos, o e o . O é o que acompanha (que é a mesma coisa que só a notação que é diferente), e o é o termo que acompanha y (é o termo que não está derivado). Veja:
Substituindo na equação de Euler:
Passo 2
Agora temos que encontrar as raízes dessa equação para encontrar a solução da equação característica, vamos fazer isso utilizando a fórmula de Bhaskara. Sendo assim, vamos colocar a equação no formato de equação do 2º grau, então substituímos por , por ignorando as derivadas, então vai ficar:
Então para encontrar o usamos a fórmula:
Sendo: .
Importante!!!
- Se o resultado do , teremos duas raízes reais diferentes, e a equação característica vai ser:
- Se o resultado do , teremos duas raízes reais iguais, e a equação característica vai ser:
- Se o resultado do , teremos duas raízes complexas, e a equação característica vai ser:
Com isso em mãos vamos substituir na fórmula de Bhaskara:
Passo 3
Como a solução é:
Onde é a parte real da raiz, e é a parte imaginária.
Substituindo os valores das raízes:
Poderíamos parar por aqui que estaria certo, mas como ainda dá pra manipular vamos deixar no formato do livro.
Lembrando-se de substituir por , como pede a questão.
Pela propriedade do logaritmo:
Então fica:
Resposta
E finalmente chegamos no formato pedido. S2