Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 4.6 - Ex. 29

Nos problemas 1-32, resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes indeterminados.

29.

Passo 1

Então pessoal, como resolver esses problemas do capítulo 4.6 pelo método dos coeficientes indeterminados? Pois bem, existe uma espécie de passo a passo a ser seguida que facilita bastante nossa vida na hora da resolução. Assim como já estamos acostumados, inicialmente encontramos a equação complementar fazendo as substituições na nossa equação diferencial. Aplicando na nossa equação, teremos:

Simplificando:

Fatorando o segundo membro, teremos:

E então encontramos que:

Como temos raízes distintas e idênticas ao mesmo tempo, então teremos a seguinte solução complementar, galera:

Show! Primeira etapa concluída. Guardemos esse resultado!

Passo 2

Chamando de o lado direito da nossa equação, então tiramos que:

Aqui chegamos em um momento determinante da nossa resolução, pois precisamos aplicar um operador diferencial que anule . De acordo com o que vimos na seção em questão, quando temos uma função no formato o seguinte operador anula nossa função:

No qual é o operador definido como e é a constante que acompanha no expoente. No nosso caso temos , logo nosso primeiro operador será:

E, por fim, quando temos uma função no formato o seguinte operador anula nossa função:

Dessa forma nosso operador completo será . Aplicando na nossa equação, teremos:

E isso nos dá uma nova equação diferencial, viu só? Show de bola! (Ou não ☹)

Passo 3

Como temos uma nova equação diferencial, então vamos encontrar uma equação complementar para ela. Fazendo , teremos:

Note que uma parte desse produto já foi resolvido no passo 1, então as raízes são:

Dessa forma, conforme vimos no capítulo inteeeeiro, uma solução geral para nosso problema será a seguinte:

Observe que o termo é justamente a solução complementar que encontramos lá no passo 1. Sendo assim, podemos assumir que o que restou é a nossa solução particular, não é mesmo? Logo, teremos:

Aqui vale ressaltar que , beleza? Top! E então devemos encontrar para substituirmos láááá na equação diferencial original para fazermos aquela análise de identidade que já estamos habituados. Sim, a resolução por esse método é bem longa!

Passo 4

Derivando nossa solução particular:

Substituindo na nossa equação original, teremos:

Como temos uma identidade isso nos dá que:

(OBS: Aqui é interessante utilizarmos uma calculadora que resolve o sistema formado a partir da identidade, uma vez que resolver analiticamente, isto é, na mão, daria um trabalho absurdo.) Portanto temos que nossa solução geral final será: