Enunciado
Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 7.3 - Ex. 22
Nos problemas 1-44, encontre ou como indicado.
22.
Passo 1
Então pessoal, nas seções anteriores do capítulo 7 tínhamos que calcular com base em algumas transformações que chamamos de “básicas”. As transformações são essas aqui ó:
Em outras palavras, tínhamos o seguinte: o enunciado nos dava a função e encontrávamos um resultado em função de com base nessas transformações aí de cima, certo? Show! Agora o que temos é uma situação OPOSTA, ou seja, a questão nos dá o RESULTADO (em função de ) e pede para que encontremos !
Então o que precisamos fazer é manipular o nosso resultado para escreve-lo no formato de alguma transformação aí de cima (de até ). Fez sentido a ideia? Se não fez, então vem comigo e bora descomplicar isso aí!
Passo 2
O enunciado nos deu a seguinte transformação inversa, pessoal:
Para não precisarmos ficar escrevendo essa transformação toda hora, vamos só trabalhar com o que está dentro, ok? Vamos chamar o que está dentro de , ou seja:
Para simplificarmos isso temos que lembrar láááá de frações parciais, galera!
Para a divisão que temos podemos fazer:
Logo:
Shooow!
Passo 3
Do resultado que encontramos no passo anterior podemos criar um sisteminha, não é mesmo? Logo:
O que nos permite concluir que:
Sendo assim, temos que:
Então nossa transformação vira:
Top!
Passo 4
Se reescrevermos nossa transformação de outra maneira, teremos:
Galera, aqui temos algo interessante! TODAS as transformações possuem um resultado particular, que foi discutida no exemplo 6 da seção 7.1 e tem como resultado:
A primeira transformação dá:
A segunda transformação dá:
E a terceira dá:
Sendo assim, podemos concluir que nosso resultado será:
E é isso, galera! 😉