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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 2.8 - Ex. 3

Nos Problemas 1-6, use o método de Picard para encontrar y 1 ,   y 2 ,   y 3   ,   y 4 . Determine o limite da sequência { y n x } quando n → ∞ .

y ' = 2 x y ,     y 0 = 1

Passo 1

Olá, tudo bem?

Olha só, a gente tem essa equação aqui:

y ' = 2 x y

E a gente vai usar o método de Picard para encontrar as funções pedidas.

A questão nos deu y 0 = 1 , então temos x 0 = 0 , y 0 = 1 e f t ,   y n - 1 t =   2 t y n - 1 ( t ) .

Lembrando que a fórmula de Picard é:

y n x = y 0 + ∫ 0 x   f t ,   y n - 1 t   d t  

Passo 2

Então vamos por partes...

Primeiro vamos encontrar y 1 :

y 1 = 1 + ∫ 0 x 2 t ( 1 ) d t

y 1 = 1 + ∫ 0 x 2 t   d t

y 1 = 1 + t 2 0 x

y 1 = 1 + x 2

Beleza, encontramos y 1 , vamos seguir...

Passo 3

Agora y 2 :

y 2 = 1 + ∫ 0 x 2 t ( 1 + t 2 ) d t

y 2 = 1 + t 2 + 2 t 4 4 0 x

y 2 = 1 + x 2 + x 4 2

Beleza, mais um!

Passo 4

Agora y 3 , vamos lá...

y 3 = 1 + ∫ 0 x 2 t 1 + t 2 + t 4 2 d t

y 3 = 1 + t 2 + 2 t 4 4 + 2 t 6 12 0 x

y 3 = 1 + x 2 + x 4 2 + x 6 6

Show! Achamos mais uma!

Passo 5

E agora vamos encontrar y 4 :

y 4 = 1 + ∫ 0 x 2 t ( 1 + t 2 + t 4 2 + t 6 6 d t

y 4 = 1 + t 2 + t 4 2 + t 6 6 + t 8 24 0 x

y 4 = 1 + x 2 + x 4 2 + x 6 6 + x 8 24

Uhul! Mais uma função encontrada!

Passo 6

Agora só falta ver o limite da sequência quando n → ∞ .

Vemos que as funções seguem um padrão da forma:

y n = 1 + x 2 + x 4 2 + x 6 6 + x 8 24 + … + x n 2 n !

Então podemos dizer que o n-ésimo termo da sequência é:

∑ k = 0 n x n 2 n !

Que é uma série de Maclaurin, igual a e x 2 .

E assim, o limite de y n quando n → ∞ é e x 2 .

Terminamos! 😉

Resposta

y 1 = 1 + x 2

y 2 = 1 + x 2 + x 4 2

y 3 = 1 + x 2 + x 4 2 + x 6 6

y 4 = 1 + x 2 + x 4 2 + x 6 6 + x 8 24

n �� ∞   : e x 2

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