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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 2.8 - Ex. 6

Nos Problemas 1-6, use o método de Picard para encontrar y 1 ,   y 2 ,   y 3   ,   y 4 . Determine o limite da sequência { y n x } quando n → ∞ .

y ' = 2 e x - y ,     y 0 = 1

Passo 1

Olá, tudo bem?

Olha só, a gente tem essa equação aqui:

y ' = 2 e x - y

E a gente vai usar o método de Picard para encontrar as funções pedidas.

A questão nos deu y 0 = 1 , então temos x 0 = 0 , y 0 = 1 e f t ,   y n - 1 t =   2 e t - y n - 1 t .

Lembrando que a fórmula de Picard é:

y n x = y 0 + ∫ 0 x   f t ,   y n - 1 t   d t  

Passo 2

Então vamos por partes...

Primeiro vamos encontrar y 1 :

y 1 = 1 + ∫ 0 x 2 e t - 1 d t

y 1 = 1 + 2 e t - t 0 x

y 1 = 1 + 2 e x - x - 2 e 0

y 1 = - 1 + 2 e x - x

Beleza, encontramos y 1 , vamos seguir...

Passo 3

Agora y 2 :

y 2 = 1 + ∫ 0 x 2 e t - ( - 1 + 2 e t - t ) d t

y 2 = 1 + t + t 2 0 x

y 2 = 1 + x + x 2 2

Beleza, mais um!

Passo 4

Agora y 3 , vamos lá...

y 3 = 1 + ∫ 0 x 2 e t - 1 + t + t 2 2 d t

y 3 = 1 + 2 e t - t - t 2 2 - t 3 6 0 x

y 3 = 1 + 2 e x - x - x 2 2 - x 3 6 - 2 e 0

y 3 = - 1 + 2 e x - x - x 2 2 - x 3 6

Show! Achamos mais uma!

Passo 5

E agora vamos encontrar y 4 :

y 4 = 1 + ∫ 0 x 2 e t - ( - 1 + 2 e t - t - t 2 2 - t 3 6 d t

y 4 = 1 + t + t 2 2 + t 3 6 + t 4 24 0 x

y 4 = 1 + x + x 2 2 + x 3 6 + x 4 24

Uhul! Mais uma função encontrada!

Passo 6

Agora só falta ver o limite da sequência quando n → ∞ .

Observe que a função y n é uma série de Maclaurin, igual a função exponencial e x .

E assim, o limite de y n quando n → ∞ é e x .

Terminamos! 😉

Resposta

y 1 = - 1 + 2 e x - x

y 2 = 1 + x + x 2 2

y 3 = - 1 + 2 e x - x - x 2 2 - x 3 6

y 4 = 1 + x + x 2 2 + x 3 6 + x 4 24

n → ∞   : e x

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