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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 2.Exercícios de Revisão - Ex. 5mnop

Sem resolver, classifique cada uma das seguintes equações como: separável, homogênea, exata, linear, Bernoulii, Ricatti ou Clairaut.

m) d y d x = x y + y x + 1

n) y x 2 d y d x + e 2 x 3 + y 2 = 0

o) y = x y ' + y ' - 3 2

p) y ' + 5 y 2 = 3 x 4 - 2 x y

Passo 1

E aí, tudo beleza?

Vamos classificar essas EDOs aí, sem resolver.

  1. Primeiro essa:

    2. d y d x = x y + y x + 1

    Veja que podemos escrever da seguinte forma:

    d y d x =   x 2 + y 2 + x y x y

    x y   d y - x 2 + y 2 + x y d x

    Dá pra ver que ela não é exata, nem linear, nem de Bernoulli... Vamos ver se é homogênea.

    Temos:

    M t x , t y = - t 2 x 2 - t 2 y 2 + t 2 x y

    = t 2 ( - x 2 - t 2 + x y )

    E aqui:

    N t x , t y = t 2 x y

    As duas partes então são homogêneas, de grau 2 , então a EDO é homogênea.

    Passo 2

  2. y x 2 d y d x + e 2 x 3 + y 2 = 0

    3. Vamos dar uma melhorada aqui:

    y x 2 d y d x = - e 2 x 3 ⋅ e y 2

    y   d y =   - x 2 e 2 x 3 e y 2   d x

    y e y 2   d y + x 2 e 2 x 3 d x = 0

    E assim vemos que é uma equação separável!

    Passo 3

    o) y = x y ' + y ' - 3 2

    Nessa aqui temos o y isolado e funções com y ' . Ou seja, é uma equação de Clairaut! 😉

    Passo 4

  3. y ' + 5 y 2 = 3 x 4 - 2 x y

Bom, aqui temos y 0 ,   y 1   e   y 2 , o que é a estrutura de uma equação de Ricatti!

Então prontinho! Terminamos de classificar todas 😉

Resposta

m) Homogênea.

n) Separável.

o) Clairaut.

p) Ricatti.

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Mostre que (5) se reduz a (6) por meio da substituição w = u^(- 1) .
Nos problemas 19-24, resolva a equação de Clairaut dada. Obtenha uma solução singular.24. y - x y ' = ln ⁡ y '
Mostre que, se y 1 for uma solução para 4 , então a substituição y = y 1 + u em 4 implica 5 .
Nos problemas 19-24, resolva a equação de Clairaut dada. Obtenha uma solução singular.20. y = x y ' + y ' - 2
Sem resolver, classifique cada uma das seguintes equações como: separável, homogênea, exata, linear, Bernoulii, Ricatti ou Clairaut. x y y ' + y 2 = 2 x 2 x y y ' + y 2 = 2 x 2 yd x + xd y = 0 x 2 + 2