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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 7.3 - Ex. 62

Nos problemas 61-64, use o Teorema 7.7 com n = 1

f t = - 1 t L - 1 d d s F s

Para encontrar a transformada de Laplace inversa dada.

L - 1 ln ⁡ s 2 + 1 s ² + 4

Passo 1

E aí meu caro!! Bora lá?

Temos essa função:

L - 1 ln ⁡ s 2 + 1 s ² + 4

E precisamos usar o Teorema 7.7, com n = 1 :

f t = - 1 t L - 1 d d s F s

Para encontrarmos essa transformada inversa, bora lá?

Vamos então lembrar algumas transformadas que podemos usar:

L y t = Y ( s )

L 1 = 1 s

L t n = n ! s n + 1

L e α t = 1 s - α

L c o s ⁡ ( k t ) = s s 2 + k ²

L s e n ⁡ ( k t ) = k s 2 + k ²

L s e n ⁡ ( k t ) = k s 2 + k ²

L f t - a u ( t - a ) = F s . e - a s

E também pode ser útil a propriedade de translação:

L e α . f t = F ( s - α )

Então vamos lá!

Passo 2

Temos

L - 1 ln ⁡ s 2 + 1 s ² + 4

Derivando, podemos escrever isso assim:

L - 1 6 s s 2 + 1 . ( s 2 + 4 )

Então, nossa transformada inversa vai ser

f t = - 1 t L - 1 4 s - 3 s + 1     ( I )

Belezinha, agora precisamos encontrar a transformada inversa de 6 s s 2 + 1 . ( s 2 + 4 ) então e aí depois jogarmos nessa expressão, bora!

Passo 3

Temos

L - 1 6 s s 2 + 1 . ( s 2 + 4 )

Expandindo em frações parciais:

6 s s 2 + 1 . ( s 2 + 4 ) = A s + B ( s 2 + 1 ) + C s + D ( s 2 + 4 )

Assim, encontramos

A = 2

B = 0

C = - 2

D = 0

Portanto, podemos escrever assim:

L - 1 2 s ( s 2 + 1 ) - 2 s ( s 2 + 4 )

Usando as regrinhas lá do passo 1, temos que a transformada inversa disso é:

L - 1 d d s F s = 2 cos ⁡ t - 2 c o s ⁡ ( 2 t )

Agora é só jogar na expressão ( I )

Passo 4

Temos

f t = - 1 t L - 1 6 s s 2 + 1 . ( s 2 + 4 )

Onde

L - 1 6 s s 2 + 1 . ( s 2 + 4 ) = 2 cos ⁡ t - 2 c o s ⁡ ( 2 t )

Então:

f t = - 1 t ( 2 cos ⁡ t - 2 c o s ⁡ ( 2 t ) )

Boaaaa, terminamos!!

Resposta

f t = - 1 t ( 2 cos ⁡ t - 2 c o s ⁡ ( 2 t ) )

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