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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 7.3 - Ex. 18

Nos problemas 1-44, encontre F ( s ) ou f ( t ) como indicado.

L^(- 1) {(2 s + 5)/(s^2 + 6 s + 34)}

Passo 1

E aíí meus queridos, bora lá!

Queremos encontrar essa transformada inversa de Laplace:

L^(- 1) {(2 s + 5)/(s^2 + 6 s + 34)}

Vamos então lembrar algumas transformadas que podemos usar:

L {y (t)} = Y ( s )

L {1} = (1)/(s)

L {t^n} = (n !)/(s^(n + 1))

L {e^(alpha t)} = (1)/(s - alpha)

L {c o s ( k t )} = (s)/(s^2 + k ²)

L {s e n ( k t )} = (k)/(s^2 + k ²)

E também pode ser útil a propriedade de translação:

L {e^(alpha) . f (t)} = F ( s - alpha )

Agora sim, vamos lá!

Passo 2

Temos

L^(- 1) {(2 s + 5)/(s^2 + 6 s + 34)}

Podemos escrever isso assim olha:

L^(- 1) {(2 s + 5)/(s^2 + 6 s + 9 + 25)}

E aí, fatorando o s^2 + 6 s + 9 , temos:

L^(- 1) {(2 s + 5)/((s + 3)^2 + 5 ²)}

Podemos agora fazer essa manipulação algébrica, pra influenciar o aparecimento de um s + 3 no numerador:

L^(- 1) {(2 s + 5 + 1 - 1)/((s + 3)^2 + 5 ²)}

L^(- 1) {(2 s + 6 - 1)/((s + 3)^2 + 5 ²)}

L^(- 1) {(2 ( s + 3 ))/((s + 3)^2 + 5 ²) + (- 1)/((s + 3)^2 + 5 ²)}

L^(- 1) {(2 ( s + 3 ))/((s + 3)^2 + 5 ²) - (1)/(5) (5)/((s + 3)^2 + 5 ²)}

Boaaa, então temos a transformada de c o s ( 5 t ) com translação de 3 amostras e a transformada do s e n ( 5 t ) com translação de 3 amostras:

f (t) = 2 cos (5 t) . e^(- 3 t) - (1)/(5) s e n (5 t) . e^(- 3 t)

E fimmmm!

Resposta

f (t) = 2 cos (5 t) . e^(- 3 t) - (1)/(5) s e n (5 t) . e^(- 3 t)

Ver Outros Exercícios desse livro