Resolva

(d x)/(d t) = (t x)/(1 + t^2)

Passo 1

Uma das primeiras formas que encontramos para resolver nossas equações diferenciais é escreve-la na forma de variáveis separáveis

(d y)/(d x) = g (x) h ( y )

E assim escreve-la da seguinte forma

(d y)/(h (y)) = g (x) d x

Daqui é só um passo para resolvemos.

Passo 2

Olhando para nossa equação, já temos que nos considerar com sorte que ela já vem da forma separável. Assim temos que nossa equação pode se reescrita como definimos no passo 1, ou seja

(d x)/(d t) = (t x)/(1 + t^2) -> (d x)/(x) = (t d t)/(1 + t^2)

Integrando dos dois lados ficamos com

int (d x)/(x) = int (t d t)/(1 + t^2)

E agora é integrar para resolvemos a esquação diferencial.

Tome que

int (f^' (x))/(f (x)) d x = ln f (x)

Assim tome que a primeira integral em x , temos

int (d x)/(x) = ln x

A segunda integral vamos multiplicar em cima e em baixo por 2, assim teremos

(1)/(2) int (2 t d t)/(1 + t^2)

Então como (1 + t^2)^' = 2 t , então

(1)/(2) int (2 t d t)/(1 + t^2) = (1)/(2) ln (1 + t^2) + c

Assim ficamos com

ln x = (1)/(2) ln (1 - t^2) + c

Fazendo a exponencial dos dois lados,

exp ln x = exp [ln (1 - t^2)^((1)/(2)) + c] = K exp (ln (1 - t^2)^((1)/(2)))

Como exp ln x = | x | , então

x = K sqrt(1 - t^2)

Nossa solução da equação diferencial.

Resposta

x = K sqrt(1 - t^2)

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