Resolva

(d x)/(d t) = ln t

Passo 1

Uma das primeiras formas que encontramos para resolver nossas equações diferenciais é escreve-la na forma de variáveis separáveis

(d y)/(d x) = g (x) h ( y )

E assim escreve-la da seguinte forma

(d y)/(h (y)) = g (x) d x

Daqui é só um passo para resolvemos.

Passo 2

Olhando para nossa equação, já temos que nos considerar com sorte que ela já vem da forma separável. Assim temos que nossa equação pode se reescrita como definimos no passo 1, ou seja

(d x)/(d t) = ln t -> d x = ln t d t

Agora vamos integrar em ambos os lados.

int d x = int ln t d t

E qual é a integral de ln t ?

Vamos resolver por partes, ou seja

Fazendo

ln t = u e d t = d v

Ficamos com

d u = (1)/(t) d t e v = t

Assim

int u d v = u v - int v d u

Ou seja

int ln t d t = t * ln t - int t * (1)/(t) d t

int ln t d t = t * ln t - t

Assim ficamos finalmente com

int d x = x = t * ln t - t + c

Nossa solução da equação diferencial

Resposta

x = t * ln t - t + c

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