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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol. 4 - Ed: 5º - Capítulo 12.3 - Ex. 1a

Resolva

{[[overset(˙)(x) = x - y],[overset(˙)(y) = - x + y]])

Passo 1

Nesse problema vamos aplicar os casos mostrados no capítulo para encontrarmos as soluções gerais da nossa EDO. Vamos precisar lembrar como se calcula os autovalores e autovetores associados, pela relação:

([[a_11,-,lambda,a_12],[a_21,a_22,-,lambda]]) = 0 (a u t o v a l o r e s)

e

([[a_11,-,lambda,a_12],[a_21,a_22,-,lambda]]) * ([[m],[n]]) = 0 ( a u t o v e t o r e s )

Passo 2

Bem, como dito no passo 1, vamos começar analisando nosso sistema: como a_12 e a_21 são diferentes de zero, caíremos pro caso 2 ou 3 vistos no livro. Vamos calcular os autovalores para ver.

|[[a_11,-,lambda,a_12],[a_21,a_22,-,lambda]]| = | [[1,-,lambda,-,1],[-,1,1,-,lambda]] = 0

lambda^2 - 2 lambda = 0

Resolvendo por bhaskara, vamos chegar que lambda_1 = 2 e lambda_2 = 0 . Então caímos no caso 2, onde os autovalores são diferentes. Calculando nossos autovetores para lambda_1 então, teremos que:

([[1,-,2,-,1],[-,1,1,-,2]]) * ([[m],[n]]) = 0

- m - n = 0

- m - n = 0

Assim, nosso autovetor para lambda_1 é:

([[m],[n]]) = ([[m],[- m]]) = m ([[1],[- 1]])

Nos dando que nossa primeira solução é:

k_1 ([[1],[- 1]]) e^(2 t)

Para lambda_2 , teremos que:

([[1,-,0,-,1],[-,1,1,-,0]]) * ([[m],[n]]) = 0

m - n = 0

- m + n = 0

Nos dando que m = n e que nosso autovetor é:

([[m],[n]]) = ([[m],[m]]) = m ([[1],[1]])

Assim, nossa solução geral fica então como:

[[[x],[y]]] = k_1 [[[1],[- 1]]] e^(2 t) + k_2 [[[1],[1]]]

Resposta

[[[x],[y]]] = k_1 [[[1],[- 1]]] e^(2 t) + k_2 [[[1],[1]]]

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