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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol. 4 - Ed: 5º - Capítulo 12.3 - Ex. 1g

Resolva

{[[overset(˙)(x) = 2 y],[overset(˙)(y) = - x]])

Passo 1

Nesse problema vamos aplicar os casos mostrados no capítulo para encontrarmos as soluções gerais da nossa EDO. Vamos precisar lembrar como se calcula os autovalores e autovetores associados, pela relação:

([[a_11,-,lambda,a_12],[a_21,a_22,-,lambda]]) = 0 (a u t o v a l o r e s)

e

([[a_11,-,lambda,a_12],[a_21,a_22,-,lambda]]) * ([[m],[n]]) = 0 ( a u t o v e t o r e s )

Passo 2

Bem, como dito no passo 1, vamos começar analisando nosso sistema: como a_12 e a_21 são diferentes de zero, caíremos pro caso 2 ou 3 vistos no livro. Vamos calcular os autovalores para ver.

|[[a_11,-,lambda,a_12],[a_21,a_22,-,lambda]]| = |[[0,-,lambda,2],[-,1,0,-,lambda]]| = 0

lambda^2 + 2 = 0

Resolvendo por bhaskara, vamos chegar que lambda_1 = i sqrt(2) e lambda_2 = - i sqrt(2) . Então caímos no caso 2, onde os autovalores são diferentes. Calculando nossos autovetores para lambda_1 então, teremos que:

([[-,i,sqrt(2),2],[-,1,-,i,sqrt(2)]]) * ([[m],[n]]) = 0

- i sqrt(2) m + 2 n = 0

- m - i sqrt(2) n = 0

Se multiplicarmos a segunda equação por i sqrt(2) , vamos chegar na primeira, assim temos que ambas as relações são equivalentes a:

- i sqrt(2) m + 2 n = 0

n = (i sqrt(2))/(2) m

Para m = 1 , temos que n = (i sqrt(2))/(2) . Assim, nosso autovetor é:

[[[1],[(sqrt(2))/(2) i]]]

Assim

[[[x],[y]]] = [[[1],[(sqrt(2))/(2) i]]] e^(i sqrt(2) t)

é uma solução. Como:

e^(i sqrt(2) t) = (1)/(2) (cos sqrt(2) t + i sin sqrt(2) t)

Temos que:

{[[x = (1)/(2) (2 cos sqrt(2) t + 2 i sin sqrt(2) t)],[y = (1)/(2) (- sqrt(2) sin sqrt(2) t + i sqrt(2) cos sqrt(2) t)]]) .

Pelo exemplo 5, temos que:

[[[2 cos sqrt(2) t],[- sqrt(2) sin sqrt(2) t]]] e [[[2 sin sqrt(2) t],[sqrt(2) cos sqrt(2) t]]]

Também são soluções do nosso sistema. Assim, nossa solução geral para a EDO fica:

[[[x],[y]]] = (1)/(2) * [k_1 [[[2 cos sqrt(2) t],[- sqrt(2) sin sqrt(2) t]]] e^t + k_2 [[[2 sin sqrt(2) t],[sqrt(2) cos sqrt(2) t]]]] .

Resposta

[[[x],[y]]] = (1)/(2) * [k_1 [[[2 cos sqrt(2) t],[- sqrt(2) sin sqrt(2) t]]] e^t + k_2 [[[2 sin sqrt(2) t],[sqrt(2) cos sqrt(2) t]]]]

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