Resolva

{[[overset(˙)(x) = - 9 x + 4 y],[overset(˙)(y) = - 9 x + 3 y]])

Passo 1

Nesse problema vamos aplicar os casos mostrados no capítulo para encontrarmos as soluções gerais da nossa EDO. Vamos precisar lembrar como se calcula os autovalores e autovetores associados, pela relação:

([[a_11,-,lambda,a_12],[a_21,a_22,-,lambda]]) = 0 (a u t o v a l o r e s)

e

([[a_11,-,lambda,a_12],[a_21,a_22,-,lambda]]) * ([[m],[n]]) = 0 ( a u t o v e t o r e s )

Passo 2

Bem, como dito no passo 1, vamos começar analisando nosso sistema: como a_12 e a_21 são diferentes de zero, caíremos pro caso 2 ou 3 vistos no livro. Vamos calcular os autovalores para ver.

|[[a_11,-,lambda,a_12],[a_21,a_22,-,lambda]]| = |[[-,9,-,lambda,4],[-,9,4,-,lambda]]| = 0

lambda^2 + 6 lambda + 9 = 0

Resolvendo por bhaskara, vamos chegar que lambda_1 = - 3 e lambda_2 = - 3 . Então caímos no caso 3, onde os autovalores são iguais. Calculando nossos autovetores para lambda_1 então, teremos que:

([[-,6,4],[-,9,6]]) * ([[m],[n]]) = 0

- 6 m + 4 n = 0

- 9 m + 6 n = 0

Multiplicando a segunda equação por (2)/(3) , vamos chegar na primeira, sendo então ambas equivalentes. Assim, nosso autovetor para lambda_1 é:

([[m],[n]]) = ([[m],[(3)/(2) m]]) = m ([[1],[(3)/(2)]])

Nos dando que nossa primeira solução é:

k_1 ([[1],[(3)/(2)]]) e^(- 3 t)

Para a segunda solução, temos que pelo caso 3 ela será dada por:

k_2 {[[[m_2],[n_2]]] + t [[[m_1],[n_1]]]} e^(lambda_1 t)

Sendo que:

([[-,6,4],[-,9,6]]) * ([[m_2],[n_2]]) = ([[1],[(3)/(2)]])

Resolvendo esse sistema, vamos chegar que:

- 6 m_2 + 4 n_2 = 1

6 m_2 = 4 n_2 - 1

Se tormarmos n_2 = 1 vamos ter que:

6 m_2 = 4 - 1 = 3

m_2 = (1)/(2)

Assim, nossa solução geral fica então como:

[[[x],[y]]] = k_1 [[[1],[1]]] e^(- 3 t) + k_1 {[[[(1)/(2)],[1]]] + t [[[1],[(3)/(2)]]]} e^(- 3 t)

Resposta

[[[x],[y]]] = k_1 [[[1],[1]]] e^(- 3 t) + k_1 {[[[(1)/(2)],[1]]] + t [[[1],[(3)/(2)]]]} e^(- 3 t)

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