Resolva

{[[overset(˙)(x) = x - y],[overset(˙)(y) = x + y]])

Passo 1

Nesse problema vamos aplicar os casos mostrados no capítulo para encontrarmos as soluções gerais da nossa EDO. Vamos precisar lembrar como se calcula os autovalores e autovetores associados, pela relação:

([[a_11,-,lambda,a_12],[a_21,a_22,-,lambda]]) = 0 (a u t o v a l o r e s)

e

([[a_11,-,lambda,a_12],[a_21,a_22,-,lambda]]) * ([[m],[n]]) = 0 ( a u t o v e t o r e s )

Passo 2

Bem, como dito no passo 1, vamos começar analisando nosso sistema: como a_12 e a_21 são diferentes de zero, caíremos pro caso 2 ou 3 vistos no livro. Vamos calcular os autovalores para ver.

|[[a_11,-,lambda,a_12],[a_21,a_22,-,lambda]]| = |[[1,-,lambda,-,1],[1,1,-,lambda]]| = 0

lambda^2 - 2 lambda + 2 = 0

Resolvendo por bhaskara, vamos chegar que lambda_1 = 1 + i e lambda_2 = 1 - i . Então caímos no caso 2, onde os autovalores são diferentes. Calculando nossos autovetores para lambda_1 então, teremos que:

([[1,-,(1 + i),-,1],[1,1,-,(1 + i)]]) * ([[m],[n]]) = 0

- i m - n = 0

m - i n = 0

Se multiplicarmos a primeira equação por i , vamos chegar na segunda, assim teremos que ambas as relações são equivalentes a:

m - i n = 0

m = i n

Para n = 1 , temos que m = i . Assim, nosso autovetor é:

[[[i],[1]]]

Assim

[[[x],[y]]] = [[[i],[1]]] e^((1 + i) t)

é uma solução. Como:

e^((1 + i) t) = e^t (cos t + i sin t)

Temos que:

{[[x = e^t (cos t + i sin t)],[y = e^t (- sin t + i cos t)]]) .

Pelo exemplo 5, temos que:

[[[cos t],[- sin t]]] e^t e [[[sin t],[cos t]]] e^t

Também são soluções do nosso sistema. Assim, nossa solução geral para a EDO fica:

[[[x],[y]]] = k_1 [[[cos t],[- sin t]]] e^t + k_2 [[[sin t],[cos t]]] e^t .

Resposta

[[[x],[y]]] = k_1 [[[cos t],[- sin t]]] e^t + k_2 [[[sin t],[cos t]]] e^t

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