Resolva a equação de Bernoulli dada. Esboce os gráficos das soluções.

y ' + y = x y - 1 ,     y > 0

Passo 1

Queremos resolver a equação de Bernoulli

y ' + y = x y - 1

Uma equação de Bernoulli é do tipo

y ' + P x   y = Q x   y n

Primeiro dividimos a equação por y n :

y ' y - n + P x   y ⋅ y - n = Q x

Para resolver essa equação, fazemos a substituição

u = y 1 - n

Assim,

u ' = 1 - n y 1 - n - 1 y ' = 1 - n   y - n y '

Portanto,

y ' y - n = u ' 1 - n

Passo 2

Vamos seguir essa raciocínio nesse problema. Note que n = - 1 . Dividindo a equação por y - 1 :

y ' y + y 2 = x

Fazendo a substituição

u = y 1 - n = y 1 - ( 1 ) = y 2

Assim,

u ' = 2 y   y ' ⇒ y ' y = u ' 2

Substituindo na equação:

u ' 2 + u = x

Portanto,

u ' + 2 u = 2 x

Passo 3

Essa equação é linear com fator integrante:

I = e ∫ 2   d x = e 2 x

Multiplicando a equação por essa fator:

u ' e 2 x + 2 u   e 2 x = 2 x   e 2 x

Assim,

u   e 2 x ' = 2 x   e 2 x

Logo,

u   e 2 x = 2 ∫ x   e 2 x   d x

Para fazer essa integral, usamos partes:

∫ f   d g = f g - ∫ g   d f

Chamando f = x e d g = e 2 x , temos que

d f = d x             e           g = 1 2 e 2 x

Logo,

∫ x   e 2 x   d x = x 2 e 2 x - 1 2 ∫ e 2 x   d x = x 2 e 2 x - 1 4 e 2 x

Assim,

u   e 2 x = 2   x 2 e 2 x - 1 4 e 2 x + C = x - 1 2 e 2 x + C

Portanto,

u = x + 1 2 + C e - 2 x

Mas como u = y 2 :

y 2 = x + 1 2 + C e - 2 x

Logo, como y > 0

y = x + 1 2 + C e - 2 x

Os gráficos das soluções são:

Resposta

Esboço de gráfico.

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