Resolva a equação de Bernoulli dada. Esboce os gráficos das soluções.

y ' + y = x y 3

Passo 1

Queremos resolver a equação de Bernoulli

y ' + y = x y 3

Uma equação de Bernoulli é do tipo

y ' + P x   y = Q x   y n

Primeiro dividimos a equação por y n :

y ' y - n + P x   y ⋅ y - n = Q x

Para resolver essa equação, fazemos a substituição

u = y 1 - n

Assim,

u ' = 1 - n y 1 - n - 1 y ' = 1 - n   y - n y '

Portanto,

y ' y - n = u ' 1 - n

Passo 2

Vamos seguir essa raciocínio nesse problema. Note que n = 3 . Dividindo a equação por y 3 :

y ' y - 3 + y ⋅ y - 3 = x

Ou ainda,

y ' y - 3 + y - 2 = x

Fazendo a substituição

u = y 1 - n = y 1 - 3 = y - 2

Assim,

u ' = - 2 y - 3   y ' ⇒ y ' = - u ' 2 y - 3

Substituindo na equação:

- u ' 2 y - 3 ⋅ y - 3 + u = x

Portanto,

u ' - 2 u = - 2 x

Passo 3

Essa equação é linear com fator integrante:

I = e ∫ - 2   d x = e - 2 x

Multiplicando a equação por essa fator:

u ' e - 2 x - 2 u   e - 2 x = - 2 x   e - 2 x

Assim,

u   e - 2 x ' = - 2 x   e - 2 x

Logo,

u   e - 2 x = - 2 ∫ x   e - 2 x   d x

Para fazer essa integral, usamos partes:

∫ f   d g = f g - ∫ g   d f

Chamando f = x e d g = e - 2 x , temos que

d f = d x             e           g = - 1 2 e - 2 x

Logo,

∫ x   e - 2 x   d x = - x 2 e - 2 x + 1 2 ∫ e - 2 x   d x = - x 2 e - 2 x - 1 4 e - 2 x

Assim,

u   e - 2 x = - 2   - x 2 e - 2 x - 1 4 e - 2 x + C = x + 1 2 e - 2 x + C

Portanto,

u = x + 1 2 + C e 2 x

Mas como u = y - 2 :

1 y 2 = x + 1 2 + C e 2 x

Logo,

y 2 = 1 x + 1 2 + C e 2 x

Ou ainda,

y = ± 1 x + 1 2 + C e 2 x

Os gráficos das soluções são:

Resposta

Esboço de gráfico.

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