1. Resolva a equação dada

B - x^2 + 3 x y^' + 2 y = 0 , x > 0

Passo 1

x^2 + 3 x y^' + 2 y = 0

Essa é uma EDO de Euler Cauchy, como esta daqui:

x^2 y^(' ') + alpha x y^' + beta y = 0

Porém, no nosso caso, alpha = 3 e beta = 2 . A equação característica que precisamos resolver é:

r^2 + (alpha - 1) r + beta = 0

Então substituindo os valores de alpha e beta do nosso caso...

r^2 + (3 - 1) r + 2 = 0 ->

r^2 + 2 r + 2 = 0

Resolvendo essa equação característica por Báskara:

r = (- 2 +- sqrt(2^2 - 4 * 2))/(2) ->

r = (- 2 +- sqrt(- 4))/(2) ->

r = (- 2 +- sqrt(4) * sqrt(- 1))/(2) ->

r = (- 2 +- 2 i)/(2) ->

r = - 1 +- 1 i

Onde i é a unidade imaginária sqrt(- 1) , ok? De acordo com a nossa teoria, a resposta da EDO homogênea então será:

y = x^(lambda) (c_1 cos (mu ln x) + c_2 sin (mu ln x)) ->

Onde lambda e mu vem da resposta imaginária r = lambda +- mu i . Ou seja, no nosso caso teremos:

y = x^(- 1) (c_1 cos (ln x) + c_2 sin (ln x))

Resposta

y = x^(- 1) (c_1 cos (ln x) + c_2 sin (ln x))

Ver Outros Exercícios desse livro