Resolva a equação dada:
Passo 1
Observe que se trata de uma EDL do 2º grau não-homogênea, portanto a solução geral para ela é dada por:
Onde é a parte homogênea da solução, e é a solução particular.
Passo 2
Podemos obter utilizando das equações auxiliares; seja então:
Obtemos duas raízes complexas, lembrando que :
Onde
De forma que a solução homogênea assume a seguinte forma:
Passo 3
Agora, percebendo que na EDL o nosso é uma função trigonométrica, devemos então propor uma solução de forma que a mesma também seja uma função trigonométrica:
Repare que se essa solução já existirá em , e então a solução particular quando isso acontece será:
Temos de analisar dois casos:
- :
De onde obtemos:
Substituindo na equação original:
Relacionando ambos os lados da igualdade:
E
Portanto a solução particular assume a seguinte forma:
E então:
Substituindo na EDL e simplificando:
E então:
E a solução particular:
Resposta
Portanto, a solução geral para a EDL é dada pela soma das soluções particular e homogênea: