Resolva a equação dada:

  1. overset(¨)(x) + 4 x = cos (beta t) , o n d e beta é u m r e a l d a d o

Passo 1

Observe que se trata de uma EDL do 2º grau não-homogênea, portanto a solução geral para ela é dada por:

x (t) = x_h (t) + x_p (t)

Onde x_h é a parte homogênea da solução, e x_p é a solução particular.

Passo 2

Podemos obter x_h utilizando das equações auxiliares; seja então:

m^2 + 4 = 0

Obtemos duas raízes complexas, lembrando que m = a +- b i :

m_1 = 0 - 2 i e m_2 = 0 + 2 i

Onde a = 0 e b = 2

De forma que a solução homogênea assume a seguinte forma:

x_h (t) = e^(a t) [C_1 cos (b t) + C_2 sin (b t)]

x_h (t) = C_1 cos (2 t) + C_2 sin (2 t)

Passo 3

Agora, percebendo que na EDL o nosso g (t) = cos (beta t) é uma função trigonométrica, devemos então propor uma solução de forma que a mesma também seja uma função trigonométrica:

x_p (t) = A cos (beta t) + B sin (beta t)

Repare que se beta = 2 essa solução já existirá em x_h , e então a solução particular quando isso acontece será:

x_p (t) = A t cos (beta t) + B t s i n ( beta t )

Temos de analisar dois casos:

  1. beta != 2 :
  2. x_p (t) = A cos (beta t) + B sin (beta t)

    De onde obtemos:

    x_p^' (t) = - beta A sin (beta t) + beta B cos (beta t)

    x_p^(' ') (t) = - beta^2 A cos (beta t) - beta^2 B sin (beta t)

    Substituindo na equação original:

    [ - beta^2 A cos (beta t) - beta^2 B sin (beta t) ] + [4 A cos (beta t) + 4 B sin (beta t)] = cos (beta t) )

    (4 A - beta^2 A) cos (beta t) + (4 B - beta^2 B) sin (beta t) = cos (beta t)

    Relacionando ambos os lados da igualdade:

    (4 A - beta^2 A) = 1 -> A = (1)/(4 - beta^2)

    E

    (4 B - beta^2 B) = 0 -> B = 0

    Portanto a solução particular assume a seguinte forma:

    x_p (t) = (1)/(4 - beta^2) cos (beta t) , p a r a beta != 2

  3. beta = 2 :

x_p (t) = A t cos (beta t) + B t s i n ( beta t )

E então:

x_p^' (t) = cos (beta t) (A + beta B t) + sin (beta t) (B - beta A t)

x_p^(' ') (t) = cos (beta t) (B + beta B + beta A t) - sin (beta t) (A + beta A + beta B t)

Substituindo na EDL e simplificando:

cos (2 t) (3 B) - sin (2 t) ( 3 A ) = cos (2 t)

E então:

B = (1)/(3) , A = 0

E a solução particular:

x_p (t) = (1)/(3) t sin (beta t) , beta = 2

Resposta

Portanto, a solução geral para a EDL é dada pela soma das soluções particular e homogênea:

x (t) = C_1 cos (2 t) + C_2 sin (2 t) + (1)/(4 - beta^2) cos (beta t) , q u a n d o beta != 2

x (t) = C_1 cos (2 t) + C_2 sin (2 t) + (1)/(3) t sin (beta t) , q u a n d o beta = 2

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