Determine a solução geral:
(f)
Passo 1
Perceba que se trata de uma EDL não-homogênea, pois , de 2º grau.
Portanto a solução geral será dada por:
Onde é a parte homogênea da solução, e é a solução particular
Passo 2
Para encontrarmos a solução homogênea, vamos partir da seguinte equação auxiliar:
Perceba que teremos duas raízes complexas do tipo :
Onde .
Logo, a solução homogênea será:
Passo 3
Para encontrar a solução particular, perceba que é uma função trigonométrica e exponencial, de forma que esperamos encontrar essas mesmas funções na solução.
Portanto vamos propor o seguinte:
Mas perceba que essa solução é exatamente igual à homogênea, logo devemos multiplicar em ambos os termos da solução particular, de forma que obtemos:
De onde encontramos:
E
Substituindo na equação original e simplificando:
Relacionando ambos os lados da equação:
Portanto a solução geral será:
Resposta
Concluimos então que a solução geral assumirá a seguinte forma: