Determine a solução geral:

(f) (d^2 x)/(d t^2) + 2 (d x)/(d t) + 2 x = - 2 e^(- t) sin (t)

Passo 1

Perceba que se trata de uma EDL não-homogênea, pois g (t) = - 2 e^(- t) sin (t) != 0 , de 2º grau.

Portanto a solução geral será dada por:

x (t) = x_h (t) + x_p (t)

Onde x_h é a parte homogênea da solução, e x_p é a solução particular

Passo 2

Para encontrarmos a solução homogênea, vamos partir da seguinte equação auxiliar:

m^2 + 2 m + 2 = 0

Perceba que teremos duas raízes complexas do tipo m = a +- b i :

m_1 = - 1 - i e m_2 = - 1 + i

Onde a = - 1 e b = 1 .

Logo, a solução homogênea será:

x_h (t) = e^(a t) [C_1 cos (b t) + C_2 sin (b t)]

x_h (t) = e^(- t) [C_1 cos (t) + C_2 sin (t)]

Passo 3

Para encontrar a solução particular, perceba que g (t) = - 2 e^(- t) sin (t) é uma função trigonométrica e exponencial, de forma que esperamos encontrar essas mesmas funções na solução.

Portanto vamos propor o seguinte:

x_p (t) = A e^(- t) cos (t) + B e^(- t) sin (t)

Mas perceba que essa solução é exatamente igual à homogênea, logo devemos multiplicar t em ambos os termos da solução particular, de forma que obtemos:

x_p (t) = A t e^(- t) cos (t) + B t e^(- t) sin (t)

De onde encontramos:

x_p^' (t) = e^(- t) [A c o s (t) - A t cos (t) - A t sin (t)] + e^(- t) [B sin (t) + B t cos (t) - B t sin (t)]

E

x_p^(' ') (t) = e^(- t) [2 A t sin (t) - 2 A cos (t) - 2 A sin (t)] + e^(- t) [2 B cos (t) - 2 B sin (t) - 2 B t cos (t)]

Substituindo na equação original e simplificando:

[2 B cos (t) - 2 A sin (t)] e^(- t) = - 2 e^(- t) sin (t)

Relacionando ambos os lados da equação:

2 B = 0 -> B = 0

- 2 A = - 2 -> A = 1

Portanto a solução geral será:

x_p (t) = t e^(- t) cos (t)

Resposta

Concluimos então que a solução geral assumirá a seguinte forma:

x (t) = e^(- t) [C_1 cos (t) + C_2 sin (t)] + t e^(- t) cos (t)

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