Resolva as equações de Bernoulli

v (d v)/(d x) = v^2 - e^(2 x) v^3

Passo 1

Meus queridos e minhas queridas:

Para resolver uma equação de Bernoulli, dada por:

(d y)/(d x) = h (x) y + j (x) y^(prop) ; prop != 0

Precisamos seguir 2 passos:

1 º p a s s o : m u l t i p l i c a r a m b o s o s l a d o s d a e q u a ç ã o p o r y^(- prop) ;

2 º p a s s o : f a z e r a m u d a n ç a d e v a r i á v e l u = y^(1 - prop) , y = y (x) .

Vamos lá:

(v . d v)/(d x) = v^2 - e^(2 x) v^3

Multiplicando ambos os lados da equação por v^(- 3) :

(v^(- 2) . d v)/(d x) = v^(- 1) - e^(2 x)

Agora precisamos fazer a substituição de variável:

y = v^(- 1)

(d y)/(d v) = - (1)/(v^2)

- v^2 . d y = d v

Então:

(( v^(- 2) ) - v^2 . d y)/(d x) = y - e^(2 x)

(d y)/(d x) = - y + e^(2 x)

Passo 2

Para resolvermos esse tipo de equação, precisamos fazer uso do seguinte artifício:

As soluções da equação:

(d y)/(d x) = f (x) y + g ( x )

São dadas pela fórmula:

y = e^(int f (x) d x) * [k + int g (x) e^(- int f (x) d x) d x]

Portanto, mãos a massa!

Sendo a equação:

(d y)/(d x) = - y + e^(2 x)

Sabemos que:

{[[f (x) = - 1],[g (x) = e^(2 x)]])

Vamos lá!

y = e^(int ( - 1 ) d x) * [k + int e^(2 x) . e^(- int ( - 1 ) d x) d x]

y = e^(- x) * [k + int e^(2 x) . e^x d x]

y = e^(- x) * [k + int e^(3 x) d x]

y = k e^(- x) + e^(- x) {(e^(3 x))/(3)}

y = k e^(- x) + (e^(2 x))/(3)

Lembrem-se de retornar a substituição feita:

y = v^(- 1)

v^(- 1) = k e^(- x) + (e^(2 x))/(3)

v = (k e^(- x) + (e^(2 x))/(3))^(- 1)

Resposta

v = (k e^(- x) + (e^(2 x))/(3))^(- 1) o u v = 0

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