Resolva as equações de Bernoulli dadas:

(d y)/(d x) - (1)/(x) y = y^((1)/(2)) , y > 0

Passo 1

E aqui estamos, começando mais uma questão super interessante !!

Vamos reorganizar:

(d y)/(d x) = y^((1)/(2)) + (y)/(x)

(y^((1)/(2)) + (y)/(x)) d x - d y = 0

Dividindo todos os termos por y^((1)/(2)) :

(1 + (y^((1)/(2)))/(x)) d x - y^((- 1)/(2)) d y = 0

Para simplificar vamos chamar:

P (x , y) = 1 + (y^((1)/(2)))/(x)

Q (x , y) = - y^((- 1)/(2))

Derivando P em y e Q em x:

P_y = (1)/(2 x sqrt(y))

Q_x = 0

Como as derivada não são iguais esta equação não é exata.

Sendo assim, para resolvê-la nós vamos multiplica-la por uma função mu ( x , y ) para que o produto se torne uma equação exata, ok?

A nossa função mu ( x , y ) é chamada de fator integrante e é determinado pela relação:

mu (x , y) = e^(int (P_y - Q_x)/(Q) . d x)

Substituindo:

mu (x , y) = e^(int ((1)/(2 x sqrt(y)) - 0)/(- (1)/(sqrt(y))) . d x) = e^(- int (1)/(2 x) . d x) = e^((- 1)/(2) int (1)/(x) . d x)

mu (x , y) = e^(- (1)/(2) . ln x) = e^(ln x^(- (1)/(2)))

mu (x , y) = x^(- (1)/(2))

Multiplicando cada termo por x^(- (1)/(2)) :

(x^(- (1)/(2)) + x^(- (3)/(2)) y^((1)/(2))) d x - x^(- (1)/(2)) y^((- 1)/(2)) d y = 0

Passo 2

Agora que temos a nossa equação exata podemos dar continuidade, ok?

(d phi)/(d x) = x^(- (1)/(2)) + x^(- (3)/(2)) y^((1)/(2))

(d phi)/(d y) = - x^(- (1)/(2)) y^((- 1)/(2))

Analisando a primeira condição:

d phi = (x^(- (1)/(2)) + x^(- (3)/(2)) y^((1)/(2))) d x

E integrando:

phi = (1)/(x^2) - 2 y^((1)/(2)) x^(- (1)/(2))

Já a segunda condição:

d phi = (- x^(- (1)/(2)) y^((- 1)/(2))) d x

E integrando:

phi = - 2 y^((1)/(2)) x^(- (1)/(2))

Então:

phi ( x , y ) = (1)/(x^2) - 2 y^((1)/(2)) x^(- (1)/(2))

Portanto nós concluímos que a equação (x^(- (1)/(2)) + x^(- (3)/(2)) y^((1)/(2))) d x - x^(- (1)/(2)) y^((- 1)/(2)) d y = 0 é exata e suas condições são dadas implicitamente por (2 x - 1)/(4) e^(- 2 x) + (e^(2 x))/(2 y^2) = k , em que k é uma constante.

De boa, não é?

Resposta

phi ( x , y ) = (1)/(x^2) - 2 y^((1)/(2)) x^(- (1)/(2))

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